\int \frac{x^{3} d x}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{x^{3}\,dx}{\left(x^{2}+2\right)^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O integrando é a função racional \dfrac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}.
  • Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um F(x) tal que F'(x)=\dfrac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}}.
    Nada mais é pedido além de encontrar essa primitiva (com constante de integração).

Passo 2

Escolha do método: substituição (u-substituição).
Por quê? Porque o denominador é \left(x^{2}+2\right)^{2} e a derivada de x^{2}+2 é 2x, que aparece no numerador na forma de um fator x (temos x^{3}=x^{2}\cdot x). Então, se fizermos u=x^{2}+2, o diferencial du vai estar relacionado a x\,dx e isso facilita reescrever a integral. Vamos aplicar essa substituição.

Passo 3

Defina a substituição e calcule du:
u = x^{2}+2 \quad\Rightarrow\quad du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{du}{2}.
Reescreva o numerador como x^{3}=x^{2}\cdot x. Como x^{2}=u-2, obtemos
x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx = (u-2)\cdot\frac{du}{2} = \frac{u-2}{2}\,du.
Substituindo tudo na integral original:
\int \frac{x^{3}\,dx}{(x^{2}+2)^{2}} = \int \frac{\frac{u-2}{2}\,du}{u^{2}} = \frac{1}{2}\int \frac{u-2}{u^{2}}\,du.

Passo 4

Simplifique a expressão dentro da integral:
\frac{u-2}{u^{2}} = \frac{u}{u^{2}} - \frac{2}{u^{2}} = \frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}.
Portanto
\frac{1}{2}\int \frac{u-2}{u^{2}}\,du = \frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}\right)du.

Passo 5

Integre termo a termo. Lembre: \int \dfrac{1}{u}\,du = \ln|u| + C e \int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C.
Assim,
\int\left(\frac{1}{u} - \frac{2}{u^{2}}\right)du = \ln|u| -2\int u^{-2}du = \ln|u| -2\bigl(-u^{-1}\bigr) = \ln|u| + \frac{2}{u}.

Passo 6

Multiplique pelo fator \dfrac{1}{2} que ficou fora da integral:
\frac{1}{2}\left(\ln|u| + \frac{2}{u}\right) = \frac{1}{2}\ln|u| + \frac{1}{u} + C.

Passo 7

Volte para a variável x usando u=x^{2}+2. Como x^{2}+2>0 para todo x, o valor absoluto não é necessário, mas podemos mantê-lo sem problema. Substituindo:
\frac{1}{2}\ln|u| + \frac{1}{u} + C = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+2\bigr) + \frac{1}{x^{2}+2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para aprender): derive a primitiva encontrada para confirmar que volta ao integrando.
Calcule
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+2\bigr) + \frac{1}{x^{2}+2}\right).
Derivando termo a termo:
\frac{1}{2}\cdot\frac{2x}{x^{2}+2} + \left(-1\right)\cdot\frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+2} - \frac{2x}{(x^{2}+2)^{2}}.
Colocando em denominador comum (x^{2}+2)^{2}:
\frac{x(x^{2}+2)-2x}{(x^{2}+2)^{2}} = \frac{x^{3}}{(x^{2}+2)^{2}},
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}\ln\!\bigl(x^{2}+2\bigr)+\frac{1}{x^{2}+2}+C

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