Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas que vamos usar:
- O integrando é a função racional
. - Queremos uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, um
tal que .
Nada mais é pedido além de encontrar essa primitiva (com constante de integração).
Passo 2
Escolha do método: substituição (u-substituição).
Por quê? Porque o denominador é e a derivada de
é
, que aparece no numerador na forma de um fator
(temos
). Então, se fizermos
, o diferencial
vai estar relacionado a
e isso facilita reescrever a integral. Vamos aplicar essa substituição.
Por quê? Porque o denominador é
Passo 3
Defina a substituição e calcule
:
Reescreva o numerador como
. Como
, obtemos
Substituindo tudo na integral original:
Passo 4
Simplifique a expressão dentro da integral:
Portanto
Passo 5
Integre termo a termo. Lembre:
e
.
Assim,
Assim,
Passo 6
Multiplique pelo fator
que ficou fora da integral:
Passo 7
Volte para a variável
usando
. Como
para todo
, o valor absoluto não é necessário, mas podemos mantê-lo sem problema. Substituindo:
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom para aprender): derive a primitiva encontrada para confirmar que volta ao integrando.
Calcule
Calcule
Derivando termo a termo:
Colocando em denominador comum
:
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.