Leia os enunciados com atenção. Apresente o desenvolvimento das questōes de forma organizada e forneça os resultados com 3 algarismos significativos.
Scjam dados:
  • força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} k N, aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
  • força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 k N, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3)
Pede-se (comprimentos em m, forças em k N ):
(a - 5 pontos) Calcular o momento no ponto O(0,0,0), fornecendo-o em notação escalar (intensidade e cossenos diretores);
(b- 5 pontos) Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga o ponto Q(1,-1,1) ao ponto R(0,-2,7), descrevendo-o em notação vetorial cartesiana.
(c - 2 pontos) Calcular o momento de um binário formado pela força \vec{F}_{1} corn uma força \vec{F}_{3} aplicada no ponto P_{3}(10,2,-1).

Passo 1

Calma — vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais dados temos, tudo bem? Vou listar as perguntas e os dados do problema de forma clara.
Perguntas:
  • (a) Calcular o momento total no ponto O(0,0,0) causado por \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2}, e fornecer esse momento em notação escalar: isto é, a intensidade (magnitude) do momento e os cossenos diretores (cosenos das direções em x,y,z).
  • (b) Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga Q(1,-1,1) a R(0,-2,7), descrevendo-o em notação vetorial cartesiana.
  • (c) Calcular o momento de um binário formado pela força \vec{F}_{1} com uma força \vec{F}_{3} aplicada no ponto P_{3}(10,2,-1).
Dados fornecidos (unidades: comprimentos em metros, forças em kN):
\vec{F}_{1} = \{50\vec{i}-43\vec{j}+13\vec{k}\}\\ \text{kN},\quad P_{1}(0,3,-2).
\vec{F}_{2}\\ \text{tem intensidade }70\\ \text{kN} \text{ e é paralela a } \vec{v}_{2}=3\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k},\quad P_{2}(0,0,3).é
Pontos conhecidos: O(0,0,0), Q(1,-1,1), R(0,-2,7), P_{3}(10,2,-1).
Observações importantes para usar nos passos seguintes:
  • Para calcular momentos usaremos o produto vetorial posição × força: \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}, onde \vec{r} é o vetor que vai do ponto de referência (por exemplo O ou Q) até o ponto de aplicação da força.
  • Para projetar um momento sobre um eixo usamos a projeção escalar (\vec{M}\cdot\hat{u}) e, se for preciso o vetor momento ao longo do eixo, multiplicamos esse escalar por \hat{u}: (\vec{M}\cdot\hat{u})\hat{u}.

Passo 2

Primeiro vamos obter \vec{r}_1 (vetor de O até P_1) e calcular o momento de \vec{F}_1 em O.
Definição e fórmula do produto vetorial (crucial para momentos)
\vec{M}=\vec{r}\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\\ r_x & r_y & r_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix},
ou em componentes
M_x = r_y F_z - r_z F_y,\quad M_y = r_z F_x - r_x F_z,\quad M_z = r_x F_y - r_y F_x.
Aqui r_x,r_y,r_z são as componentes de \vec{r} e F_x,F_y,F_z as de \vec{F}.
Para \vec{F}_1 e P_1:
\vec{r}_1 = \overrightarrow{OP_1} = (0,3,-2).
\vec{F}_1 = (50,\,-43,\,13)\\ \text{kN}.
Calculemos \vec{M}_{O,1}=\vec{r}_1\times\vec{F}_1 componente a componente:
M_{O,1,x} = r_{1,y}F_{1,z} - r_{1,z}F_{1,y} = 3\cdot 13 - (-2)\cdot(-43) = 39 - 86 = -47.
M_{O,1,y} = r_{1,z}F_{1,x} - r_{1,x}F_{1,z} = (-2)\cdot 50 - 0\cdot 13 = -100.
M_{O,1,z} = r_{1,x}F_{1,y} - r_{1,y}F_{1,x} = 0\cdot(-43) - 3\cdot 50 = -150.
Logo
\vec{M}_{O,1} = (-47,\,-100,\,-150)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Explicação curta: cada componente do momento mede o “efeito de rotação” em torno de cada eixo; pegamos as componentes de \vec{r}_1 e \vec{F}_1 e aplicamos a fórmula do determinante acima.

Passo 3

Agora precisamos da força \vec{F}_2 em componentes. Sabemos apenas a intensidade 70\\ \text{kN} e que é paralela a \vec{v}_2 = (3,2,5). Para obter \vec{F}_2 usamos o vetor unitário na direção de \vec{v}_2.
Cálculo do vetor unitário \hat{u}_2:
\|\vec{v}_2\| = \sqrt{3^2+2^2+5^2}=\sqrt{9+4+25}=\sqrt{38}.
\hat{u}_2 = \frac{\vec{v}_2}{\sqrt{38}} = \left(\frac{3}{\sqrt{38}},\frac{2}{\sqrt{38}},\frac{5}{\sqrt{38}}\right).
A força \vec{F}_2 em componentes é
\vec{F}_2 = 70\,\hat{u}_2 = 70\left(\frac{3}{\sqrt{38}},\frac{2}{\sqrt{38}},\frac{5}{\sqrt{38}}\right).
Vamos calcular numericamente (mantendo mais casas para não acumular erro):
\sqrt{38}\approx 6.164414.
\vec{F}_2 \approx (70\cdot 3/6.164414,\;70\cdot 2/6.164414,\;70\cdot 5/6.164414)\\ \text{kN}
\vec{F}_2 \approx (34.059,\;22.706,\;56.767)\\ \text{kN}.
(Estas são as componentes de \vec{F}_2 com precisão suficiente para os cálculos seguintes.)

Passo 4

Calcular o momento em O causado por \vec{F}_2 aplicada em P_2(0,0,3).
O vetor posição é
\vec{r}_2 = \overrightarrow{OP_2} = (0,0,3).
Aplicamos \vec{M}_{O,2} = \vec{r}_2\times\vec{F}_2. Componentes:
M_{O,2,x} = r_{2,y}F_{2,z} - r_{2,z}F_{2,y} = 0\cdot 56.767 - 3\cdot 22.706 = -68.1189.
M_{O,2,y} = r_{2,z}F_{2,x} - r_{2,x}F_{2,z} = 3\cdot 34.059 - 0\cdot 56.767 = 102.177.
M_{O,2,z} = r_{2,x}F_{2,y} - r_{2,y}F_{2,x} = 0\cdot 22.706 - 0\cdot 34.059 = 0.
Portanto
\vec{M}_{O,2} \approx (-68.1189,\;102.177,\;0)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.

Passo 5

Somamos os momentos de \vec{F}_1 e \vec{F}_2 para obter o momento total em O:
\vec{M}_O = \vec{M}_{O,1} + \vec{M}_{O,2}.
Componentes:
M_{O,x} = -47 + (-68.1189) = -115.1189,
M_{O,y} = -100 + 102.177 = 2.177,
M_{O,z} = -150 + 0 = -150.
Logo
\vec{M}_O \approx (-115.1189,\;2.177,\;-150)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Agora precisamos da intensidade (magnitude) e dos cossenos diretores. A magnitude é
\|\vec{M}_O\| = \sqrt{(-115.1189)^2 + (2.177)^2 + (-150)^2}.
Calculemos:
\|\vec{M}_O\| \approx \sqrt{115.1189^2 + 2.177^2 + 150^2} \approx \sqrt{13257,34 + 4,739 + 22500} \approx \sqrt{35762,08}\approx 189.10.
Os cossenos diretores são
\cos\alpha = \frac{M_{O,x}}{\|\vec{M}_O\|},\quad \cos\beta = \frac{M_{O,y}}{\|\vec{M}_O\|},\quad \cos\gamma = \frac{M_{O,z}}{\|\vec{M}_O\|}.
Numericamente:
\cos\alpha \approx \frac{-115.1189}{189.10}\approx -0.6090,
\cos\beta \approx \frac{2.177}{189.10}\approx 0.01151,
\cos\gamma \approx \frac{-150}{189.10}\approx -0.7933.
Para apresentar com três algarismos significativos (exigido no enunciado) arredondamos:
\|\vec{M}_O\| \approx 189\\ \text{kN}\cdot\text{m},
\cos\alpha \approx -0{,}609,\quad \cos\beta \approx 0{,}0115,\quad \cos\gamma \approx -0{,}793.

Passo 6

Agora (b): momento de \vec{F}_1 em torno do eixo que liga Q(1,-1,1) a R(0,-2,7). Vou calcular o vetor momento de \vec{F}_1 e projetá-lo na direção do eixo para obter o momento sobre o eixo. Método e motivo:
  • O momento vetorial em relação a um ponto Q é \vec{M}_Q=\vec{r}_{Q1}\times\vec{F}_1, onde \vec{r}_{Q1}=\overrightarrow{QP_1}.
  • O eixo QR tem direção \vec{v}_{QR}=\overrightarrow{QR}=\vec{R}-\vec{Q}. A projeção vetorial do momento sobre esse eixo é (\vec{M}_Q\cdot\hat{u})\hat{u}, com \hat{u} o vetor unitário na direção QR. Esse resultado é independente do ponto de referência usado para calcular \vec{M}, então escolher Q é conveniente.
Calculemos:
\vec{v}_{QR} = R-Q = (0-1,\,-2-(-1),\,7-1) = (-1,\,-1,\,6).
\|\vec{v}_{QR}\| = \sqrt{(-1)^2+(-1)^2+6^2}=\sqrt{38}.
\hat{u} = \frac{\vec{v}_{QR}}{\sqrt{38}} = \left(-\frac{1}{\sqrt{38}},-\frac{1}{\sqrt{38}},\frac{6}{\sqrt{38}}\right).
Vetor posição de Q ao ponto de aplicação P_1:
\vec{r}_{Q1} = P_1 - Q = (0-1,\,3-(-1),\,-2-1) = (-1,\,4,\,-3).
Momento em relação a Q:
Calcule \vec{M}_Q=\vec{r}_{Q1}\times\vec{F}_1:
M_{Q,x} = 4\cdot 13 - (-3)\cdot(-43) = 52 - 129 = -77,
M_{Q,y} = (-3)\cdot 50 - (-1)\cdot 13 = -150 +13 = -137,
M_{Q,z} = (-1)\cdot(-43) - 4\cdot 50 = 43 -200 = -157.
Portanto
\vec{M}_Q = (-77,\,-137,\,-157)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Projete \vec{M}_Q sobre \hat{u}:
m_{\parallel} = \vec{M}_Q\cdot\hat{u} = \frac{-77(-1)+(-137)(-1)+(-157)(6)}{\sqrt{38}}.
Calcule o numerador:
-77(-1)+(-137)(-1)+(-157)(6) = 77 + 137 - 942 = -728.
m_{\parallel} = \frac{-728}{\sqrt{38}} \approx \frac{-728}{6.164414}\approx -118.101\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
O momento vetorial ao longo do eixo (vetor paralelo ao eixo) é
\vec{M}_{\text{eixo}} = m_{\parallel}\,\hat{u}.
Calculando componentes:
\vec{M}_{\text{eixo}} = -118.101\left(-\frac{1}{\sqrt{38}},-\frac{1}{\sqrt{38}},\frac{6}{\sqrt{38}}\right).
\vec{M}_{\text{eixo}} \approx \big(19{,}150,\;19{,}150,\;-114{,}900\big)\times 10^{-3}\\ \text{kN}\cdot\text{m},
mas vamos escrever com unidades e com arredondamento correto. Numericamente:
\vec{M}_{\text{eixo}} \approx (19{,}150/1000,\;19{,}150/1000,\;-114{,}900/1000)\\ \text{kN}\cdot\text{m},
que é
\vec{M}_{\text{eixo}} \approx (19{,}150/1000,\;19{,}150/1000,\;-114{,}900/1000)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Simplificando os números (mais direto):
\vec{M}_{\text{eixo}} \approx (19{,}150\times10^{-3},\;19{,}150\times10^{-3},\;-114{,}900\times10^{-3})\\ \text{kN}\cdot\text{m}.
Que é aproximadamente
\vec{M}_{\text{eixo}} \approx (19{,}150,\;19{,}150,\;-114{,}900)\times10^{-3}\\ \text{kN}\cdot\text{m} = (19{,}15,\;19{,}15,\;-114{,}90)\\ \text{kN}\cdot\text{m},
mas para não confundir, arredondaremos com três algarismos significativos no resumo final (ver

Passo 7

Agora (c): momento do binário formado por \vec{F}_1 e uma força \vec{F}_3 aplicada em P_3(10,2,-1).
Interpretação e hipótese natural sobre o enunciado:
  • Um “binário” (ou couple) é tipicamente formado por duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos aplicadas em pontos distintos. Para formar um binário com \vec{F}_1 e uma outra força em P_3, a escolha natural (e a usual em exercícios) é que \vec{F}_3 = -\vec{F}_1 (mesma linha de ação deslocada), ou seja, forças iguais em intensidade e opostas em sentido.
  • Assim assumimos \vec{F}_3 = -\vec{F}_1. Se o enunciado quisesse outra coisa teria fornecido \vec{F}_3.
Com essa hipótese, o momento do binário (momento resultante do par de forças) é
\vec{M}_{\text{binário}} = \vec{r}_1\times\vec{F}_1 + \vec{r}_3\times\vec{F}_3 = \vec{r}_1\times\vec{F}_1 + \vec{r}_3\times(-\vec{F}_1) = (\vec{r}_1 - \vec{r}_3)\times\vec{F}_1.á
Calculemos \vec{r}_1 - \vec{r}_3:
\vec{r}_1 = (0,3,-2),\quad \vec{r}_3=(10,2,-1).
\vec{r}_1-\vec{r}_3 = (-10,\,1,\,-1).
Agora o produto vetorial com \vec{F}_1=(50,-43,13):
\vec{M}_{\text{binário}} = (-10,1,-1)\times(50,-43,13).á
Componentes:
M_x = 1\cdot 13 - (-1)\cdot(-43) = 13 - 43 = -30,
M_y = (-1)\cdot 50 - (-10)\cdot 13 = -50 +130 = 80,
M_z = (-10)\cdot(-43) - 1\cdot 50 = 430 -50 = 380.
Logo
\vec{M}_{\text{binário}} = (-30,\;80,\;380)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.á
Arredondaremos para três algarismos significativos no resumo final.

Resposta

(a) \|\vec{M}_O\| = 189\\ \text{kN}\cdot\text{m};\quad \cos\alpha = -0{,}609;\; \cos\beta = 0{,}0115;\; \cos\gamma = -0{,}793.\n
(b) \vec{M}_{\text{eixo}} \approx (19{,}2,\;19{,}2,\;-114{,}9)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.\n
(c) \vec{M}_{\text{binário}} = (-30{,}0,\;80{,}0,\;380)\\ \text{kN}\cdot\text{m}.á

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