Leia os enunciados com atenção. Apresente o desenvolvimento das questōes de forma organizada e forneça os resultados com 3 algarismos significativos.
Scjam dados:
força \vec{F}_{1}=\{50 \vec{i}-43 \vec{j}+13 \vec{k}\} k N, aplicada no ponto P_{1}(0,3,-2);
força \vec{F}_{2}, com intensidade de 70 k N, paralela ao vetor \vec{v}_{2}=3 \vec{i}+2 \vec{j}+5 \vec{k}, aplicada em P_{2}(0,0,3)
Pede-se (comprimentos em m, forças em k N ):
(a - 5 pontos) Calcular o momento no ponto O(0,0,0), fornecendo-o em notação escalar (intensidade e cossenos diretores);
(b- 5 pontos) Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga o ponto Q(1,-1,1) ao ponto R(0,-2,7), descrevendo-o em notação vetorial cartesiana.
(c - 2 pontos) Calcular o momento de um binário formado pela força \vec{F}_{1} corn uma força \vec{F}_{3} aplicada no ponto P_{3}(10,2,-1).
Passo 1
Calma — vamos entender exatamente o que o enunciado pede e quais dados temos, tudo bem? Vou listar as perguntas e os dados do problema de forma clara.
Perguntas:
(a) Calcular o momento total no ponto O(0,0,0) causado por \vec{F}_{1} e \vec{F}_{2}, e fornecer esse momento em notação escalar: isto é, a intensidade (magnitude) do momento e os cossenos diretores (cosenos das direções em x,y,z).
(b) Determinar o momento que \vec{F}_{1} gera em torno do eixo que liga Q(1,-1,1) a R(0,-2,7), descrevendo-o em notação vetorial cartesiana.
(c) Calcular o momento de um binário formado pela força \vec{F}_{1} com uma força \vec{F}_{3} aplicada no ponto P_{3}(10,2,-1).
Dados fornecidos (unidades: comprimentos em metros, forças em kN):
\vec{F}_{2}\\ \text{tem intensidade }70\\ \text{kN} \text{ e é paralela a } \vec{v}_{2}=3\vec{i}+2\vec{j}+5\vec{k},\quad P_{2}(0,0,3).
Pontos conhecidos: O(0,0,0), Q(1,-1,1), R(0,-2,7), P_{3}(10,2,-1).
Observações importantes para usar nos passos seguintes:
Para calcular momentos usaremos o produto vetorial posição × força: \vec{M}=\vec{r}\times\vec{F}, onde \vec{r} é o vetor que vai do ponto de referência (por exemplo O ou Q) até o ponto de aplicação da força.
Para projetar um momento sobre um eixo usamos a projeção escalar (\vec{M}\cdot\hat{u}) e, se for preciso o vetor momento ao longo do eixo, multiplicamos esse escalar por \hat{u}: (\vec{M}\cdot\hat{u})\hat{u}.
Passo 2
Primeiro vamos obter \vec{r}_1 (vetor de O até P_1) e calcular o momento de \vec{F}_1 em O.
Definição e fórmula do produto vetorial (crucial para momentos)
Explicação curta: cada componente do momento mede o “efeito de rotação” em torno de cada eixo; pegamos as componentes de \vec{r}_1 e \vec{F}_1 e aplicamos a fórmula do determinante acima.
Passo 3
Agora precisamos da força \vec{F}_2 em componentes. Sabemos apenas a intensidade 70\\ \text{kN} e que é paralela a \vec{v}_2 = (3,2,5). Para obter \vec{F}_2 usamos o vetor unitário na direção de \vec{v}_2.
Agora (b): momento de \vec{F}_1 em torno do eixo que liga Q(1,-1,1) a R(0,-2,7). Vou calcular o vetor momento de \vec{F}_1 e projetá-lo na direção do eixo para obter o momento sobre o eixo. Método e motivo:
O momento vetorial em relação a um ponto Q é \vec{M}_Q=\vec{r}_{Q1}\times\vec{F}_1, onde \vec{r}_{Q1}=\overrightarrow{QP_1}.
O eixo QR tem direção \vec{v}_{QR}=\overrightarrow{QR}=\vec{R}-\vec{Q}. A projeção vetorial do momento sobre esse eixo é (\vec{M}_Q\cdot\hat{u})\hat{u}, com \hat{u} o vetor unitário na direção QR. Esse resultado é independente do ponto de referência usado para calcular \vec{M}, então escolher Q é conveniente.
mas para não confundir, arredondaremos com três algarismos significativos no resumo final (ver
Passo 7
Agora (c): momento do binário formado por \vec{F}_1 e uma força \vec{F}_3 aplicada em P_3(10,2,-1).
Interpretação e hipótese natural sobre o enunciado:
Um “binário” (ou couple) é tipicamente formado por duas forças iguais, paralelas e de sentidos opostos aplicadas em pontos distintos. Para formar um binário com \vec{F}_1 e uma outra força em P_3, a escolha natural (e a usual em exercícios) é que \vec{F}_3 = -\vec{F}_1 (mesma linha de ação deslocada), ou seja, forças iguais em intensidade e opostas em sentido.
Assim assumimos \vec{F}_3 = -\vec{F}_1. Se o enunciado quisesse outra coisa teria fornecido \vec{F}_3.
Com essa hipótese, o momento do binário (momento resultante do par de forças) é