Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral indefinida.
Passo 1
O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
Não há outras condições (como limites); queremos uma primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
A primeira coisa útil é simplificar a forma do polinômio do denominador completando o quadrado. Vou reescrever
como uma soma de um quadrado mais uma constante:
Isso deixa o denominador numa forma mais amigável para substituições e para ver integrais do tipo
.
Passo 3
Faço a substituição simples que centraliza o quadrado:
Reescrevo o numerador
em função de
:
Substituindo na integral:
Passo 4
Uso linearidade da integral para separar termos:
Agora vou resolver cada integral separadamente. Chamo a primeira de
e a segunda de
:
Passo 5
Calculo
. É natural usar a substituição
, porque o numerador tem
:
Então
Passo 6
Agora calculo
. Vou derivar uma primitiva por substituição trigonométrica. Defino
e faço
Então
Substituindo na integral:
Lembrando que
, temos
Passo 7
Volto das variáveis trigonométricas para
. Primeiro relaciono
com
:
Também preciso de
. Uso
e
Assim
Substituindo em
:
Agora recordo que
, então
e
. Substituindo esses valores:
Passo 8
Voltando à integral original em termos de
, lembrando que
substituo os resultados de
e
:
Portanto
Passo 9
Faço as contas algébricas para simplificar os termos racionais:
Somando os termos racionais:
Logo a primitiva em função de
fica
Passo 10
Volto para a variável original
lembrando que
. Substituo
por
e simplifico
e
. Assim a primitiva final é