Nos exercícios 1 a 23, calcular a integral indefinida.
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}} d x

Passo 1

O que o exercício pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{x-1}{\left(x^{2}+2 x+3\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas importantes:
\text{integrando } \frac{x-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}.
Não há outras condições (como limites); queremos uma primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

A primeira coisa útil é simplificar a forma do polinômio do denominador completando o quadrado. Vou reescrever x^{2}+2x+3 como uma soma de um quadrado mais uma constante:
x^{2}+2x+3 = (x+1)^{2}+2.
Isso deixa o denominador numa forma mais amigável para substituições e para ver integrais do tipo \int \frac{1}{(u^{2}+a^{2})^{2}}du.

Passo 3

Faço a substituição simples que centraliza o quadrado:
u = x+1 \quad\Rightarrow\quad x = u-1,\quad dx = du.
Reescrevo o numerador x-1 em função de u:
x-1 = (u-1)-1 = u-2.
Substituindo na integral:
\int \frac{x-1}{(x^{2}+2x+3)^{2}}\,dx = \int \frac{u-2}{(u^{2}+2)^{2}}\,du.

Passo 4

Uso linearidade da integral para separar termos:
\int \frac{u-2}{(u^{2}+2)^{2}}\,du = \int \frac{u}{(u^{2}+2)^{2}}\,du -2\int \frac{1}{(u^{2}+2)^{2}}\,du.
Agora vou resolver cada integral separadamente. Chamo a primeira de I_{1} e a segunda de I_{2}:
I_{1}=\int \frac{u}{(u^{2}+2)^{2}}\,du,\qquad I_{2}=\int \frac{1}{(u^{2}+2)^{2}}\,du.

Passo 5

Calculo I_{1}. É natural usar a substituição t=u^{2}+2, porque o numerador tem u\,du:
t=u^{2}+2 \quad\Rightarrow\quad dt=2u\,du \quad\Rightarrow\quad u\,du=\frac{dt}{2}.
Então
I_{1}=\int \frac{u}{(u^{2}+2)^{2}}\,du =\int \frac{1}{t^{2}}\cdot\frac{dt}{2} =\frac{1}{2}\int t^{-2}\,dt =\frac{1}{2}\left(-t^{-1}\right)+C =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}+2}+C.

Passo 6

Agora calculo I_{2}=\int \frac{1}{(u^{2}+2)^{2}}\,du. Vou derivar uma primitiva por substituição trigonométrica. Defino a=\sqrt{2} e faço
u = a\tan\theta = \sqrt{2}\tan\theta \quad\Rightarrow\quad du = a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
u^{2}+2 = a^{2}\tan^{2}\theta + a^{2} = a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta.
Substituindo na integral:
I_{2}=\int \frac{1}{(u^{2}+a^{2})^{2}}\,du =\int \frac{1}{\big(a^{2}\operatorname{sec}^{2}\theta\big)^{2}}\cdot a\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta =\int \frac{a\operatorname{sec}^{2}\theta}{a^{4}\operatorname{sec}^{4}\theta}\,d\theta =\frac{1}{a^{3}}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.
Lembrando que \cos^{2}\theta = \frac{1+\cos(2\theta)}{2}, temos
I_{2}=\frac{1}{a^{3}}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{1}{2a^{3}}\left(\theta + \frac{\sin(2\theta)}{2}\right)+C.

Passo 7

Volto das variáveis trigonométricas para u. Primeiro relaciono \theta com u:
\tan\theta = \frac{u}{a} = \frac{u}{\sqrt{2}} \quad\Rightarrow\quad \theta = \arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right).
Também preciso de \sin(2\theta). Uso \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta e
\sin\theta = \frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}=\frac{u/a}{\sqrt{1+(u/a)^{2}}}=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}},
\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{1+\tan^{2}\theta}}=\frac{a}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}.
Assim
\sin(2\theta)=2\cdot\frac{u}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}\cdot\frac{a}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}=\frac{2au}{u^{2}+a^{2}}.
Substituindo em I_{2}:
I_{2}=\frac{1}{2a^{3}}\left(\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + \frac{1}{2}\cdot\frac{2au}{u^{2}+a^{2}}\right)+C =\frac{1}{2a^{3}}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + \frac{u}{4a^{2}(u^{2}+a^{2})}+C.
Agora recordo que a=\sqrt{2}, então a^{2}=2 e a^{3}=2\sqrt{2}. Substituindo esses valores:
I_{2}=\frac{u}{4(u^{2}+2)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 8

Voltando à integral original em termos de u, lembrando que
\int \frac{u-2}{(u^{2}+2)^{2}}\,du = I_{1} - 2I_{2},
substituo os resultados de I_{1} e I_{2}:
I_{1} = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}+2},\qquad I_{2}=\frac{u}{4(u^{2}+2)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right).
Portanto
\int \frac{u-2}{(u^{2}+2)^{2}}\,du =-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}+2} -2\left(\frac{u}{4(u^{2}+2)}+\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right)+C.

Passo 9

Faço as contas algébricas para simplificar os termos racionais:
-2\cdot\frac{u}{4(u^{2}+2)}=-\frac{u}{2(u^{2}+2)},\qquad -2\cdot\frac{1}{4\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right).
Somando os termos racionais:
-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{u^{2}+2}-\frac{u}{2(u^{2}+2)} =-\frac{1+u}{2(u^{2}+2)}.
Logo a primitiva em função de u fica
-\frac{1+u}{2(u^{2}+2)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)+C.

Passo 10

Volto para a variável original x lembrando que u=x+1. Substituo u por x+1 e simplifico 1+u = x+2 e u^{2}+2 = (x+1)^{2}+2 = x^{2}+2x+3. Assim a primitiva final é
-\frac{x+2}{2\big(x^{2}+2x+3\big)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C.

Resposta

-\frac{x+2}{2\big(x^{2}+2x+3\big)}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\arctan\!\left(\frac{x+1}{\sqrt{2}}\right)+C

Exercícios relacionados