\int \frac{2 x^{2}-1}{(4 x-1)\left(x^{2}+1\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2}-1}{(4x-1)\bigl(x^{2}+1\bigr)}\,dx
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional, seguido de integrais básicas de logaritmo e arco-tangente.

Passo 2

Vamos propor a decomposição em frações parciais:
\frac{2x^{2}-1}{(4x-1)\bigl(x^{2}+1\bigr)} =\frac{A}{4x-1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (4x-1)(x^{2}+1), obtemos a identidade
2x^{2}-1 = A\bigl(x^{2}+1\bigr)+(Bx+C)(4x-1).

Passo 3

Expandindo o lado direito:
A\,x^{2}+A + (Bx+C)(4x-1) = A\,x^{2}+A +4B\,x^{2}+4C\,x -B\,x -C.
Agrupando termos em x^{2}, x e constante:
\bigl(A+4B\bigr)x^{2} + \bigl(4C - B\bigr)x + \bigl(A - C\bigr).
Comparando coeficientes com 2x^{2}-1, temos o sistema
\begin{cases} A + 4B = 2,\\\\ 4C - B = 0,\\\ A - C = -1. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação B=4C.
Da terceira A=C-1.
Substituindo em A+4B=2:
(C-1) + 4(4C) = 2 \quad\Rightarrow\quad 17C - 1 = 2 \quad\Rightarrow\quad C=\frac{3}{17}.
Logo
A = \frac{3}{17} - 1 = -\frac{14}{17}, \quad B = 4C = \frac{12}{17}.

Passo 5

Reescrevendo a integral com os valores de A,B,C:
\int \frac{2x^{2}-1}{(4x-1)(x^{2}+1)}\,dx = \int \frac{A}{4x-1}\,dx + \int \frac{Bx}{x^{2}+1}\,dx + \int \frac{C}{x^{2}+1}\,dx.
Substituindo A=-\tfrac{14}{17}, B=\tfrac{12}{17}, C=\tfrac{3}{17}:
-\frac{14}{17}\int \frac{dx}{4x-1} + \frac{12}{17}\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} + \frac{3}{17}\int \frac{dx}{x^{2}+1}.

Passo 6

Agora integramos cada parte:
  1. \displaystyle \int \frac{dx}{4x-1} = \frac{1}{4}\ln\bigl|4x-1\bigr|.
  2. \displaystyle \int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
  3. \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+1} = \arctan x.
Logo o resultado é
-\frac{14}{17}\cdot\frac{1}{4}\ln\bigl|4x-1\bigr| + \frac{12}{17}\cdot\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{3}{17}\,\arctan x + C.
Simplificando os coeficientes:
-\frac{7}{34}\ln\bigl|4x-1\bigr| + \frac{6}{17}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{3}{17}\arctan x + C.

Resposta

-\frac{7}{34}\ln\bigl|4x-1\bigr| + \frac{6}{17}\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{3}{17}\arctan x + C.

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