a) \int \frac{3 x-2}{(2 x-1)(x+3)} d x=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{3x-2}{(2x-1)(x+3)}\,dx.
O conteúdo envolvido é a técnica de frações parciais, que serve para decompor uma função racional em somas de termos mais simples cuja antiderivada é logarítmica.

Passo 2

Vamos assumir a forma de frações parciais
\frac{3x-2}{(2x-1)(x+3)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x+3}.
Multiplicando ambos os lados por (2x-1)(x+3), obtemos a identidade
3x - 2 = A(x+3) + B(2x-1).

Passo 3

Desenvolvendo o lado direito:
A(x+3) + B(2x-1) = (A + 2B)\,x + (3A - B).
Igualando coeficientes de x\) e termo constante a \(3x-2\), surge o sistema \[\begin{cases} A + 2B = 3,\\\\ 3A - B = -2. \end{cases}
Resolvendo, de A = 3 - 2B\] e substituindo em \(3A - B = -2, vem
3(3-2B) - B = -2 \;\Longrightarrow\; 9 -7B = -2 \;\Longrightarrow\; B = \tfrac{11}{7},\quad A = 3 - 2\cdot\tfrac{11}{7} = -\tfrac{1}{7}.

Passo 4

A integral fica
\int \frac{3x-2}{(2x-1)(x+3)}\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{1}{7}\cdot\frac{1}{2x-1} + \tfrac{11}{7}\cdot\frac{1}{x+3}\Bigr)\,dx.
Separamos em duas integrais:
-\tfrac{1}{7}\int \frac{dx}{2x-1} \quad\text{e}\quad \tfrac{11}{7}\int \frac{dx}{x+3}.

Passo 5

Sabemos que
\int \frac{dx}{2x-1} = \frac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr|,\qquad \int \frac{dx}{x+3} = \ln\bigl|x+3\bigr|.
Portanto
-\tfrac{1}{7}\int \frac{dx}{2x-1} = -\tfrac{1}{7}\cdot\tfrac{1}{2}\ln\bigl|2x-1\bigr| = -\tfrac{1}{14}\ln\bigl|2x-1\bigr|
e
\tfrac{11}{7}\int \frac{dx}{x+3} = \tfrac{11}{7}\ln\bigl|x+3\bigr|.

Resposta

\boxed{ \int \frac{3x-2}{(2x-1)(x+3)}\,dx = -\tfrac{1}{14}\ln\bigl|2x-1\bigr| + \tfrac{11}{7}\ln\bigl|x+3\bigr| + C. }

Exercícios relacionados