Calcule as integrais
\int \frac{3 x-2}{(2 x-1)(x+3)} d x=

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{3x - 2}{(2x - 1)(x + 3)}\,dx,
que é uma função racional. Para resolver, vamos usar o método de frações parciais, pois o denominador fatorado sugere decompor em somas de termos do tipo \tfrac{1}{2x-1} e \tfrac{1}{x+3}.

Passo 2

Procuramos constantes A e B tais que
\frac{3x - 2}{(2x - 1)(x + 3)} = \frac{A}{2x - 1} + \frac{B}{x + 3}.
Multiplicando ambos os lados por (2x - 1)(x + 3), obtemos
3x - 2 = A(x + 3) + B(2x - 1) = (A + 2B)\,x + (3A - B).
Igualando coeficientes de x e termos constantes:
\begin{cases} A + 2B = 3,\\\\ 3A - B = -2, \end{cases}
cuja solução é
A = -\frac{1}{7},\quad B = \frac{11}{7}.

Passo 3

Substituindo na integral, fica
\int \frac{3x - 2}{(2x - 1)(x + 3)}\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{1}{7}\,\frac{1}{2x-1} + \tfrac{11}{7}\,\frac{1}{x+3}\Bigr)\,dx.
Usamos as antiderivadas
\int \frac{dx}{2x-1} = \frac{1}{2}\ln\lvert 2x - 1\rvert, \quad \int \frac{dx}{x+3} = \ln\lvert x + 3\rvert.

Passo 4

Calculando cada termo:
-\frac{1}{7}\int \frac{dx}{2x-1} = -\frac{1}{7}\cdot\frac12\ln\lvert 2x - 1\rvert = -\frac{1}{14}\ln\lvert 2x - 1\rvert,
\frac{11}{7}\int \frac{dx}{x+3} = \frac{11}{7}\ln\lvert x + 3\rvert.
Somando e adicionando a constante C, temos a resposta final.

Resposta

\int \frac{3x - 2}{(2x - 1)(x + 3)}\,dx = -\frac{1}{14}\ln\lvert 2x - 1\rvert + \frac{11}{7}\ln\lvert x + 3\rvert + C.

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