\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow+\infty} \int_{-t}^{t} f(x) d x

Exercícios 3.3

  1. Calcule
    a) \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x
    b) \int_{0}^{1} \frac{1}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais impróprias no ponto x=0 de funções singulares em [0,1]. O conteúdo envolve a definição de integral imprópria e o critério de convergência para potências x^{-\alpha}. Vamos reescrever cada integral como limite de integrais de \varepsilon até 1.

Passo 2

Para
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx,
note que \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{-1/3}. Definimos
\int_{0}^{1} x^{-1/3}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/3}\,dx.
Como \alpha=-\tfrac13 \neq -1, podemos usar a antiderivada
\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{-1/3+1}}{-1/3+1} + C = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}x^{2/3} + C.
Então
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-1/3}\,dx = \frac{3}{2}\bigl(1^{2/3} - \varepsilon^{2/3}\bigr) = \frac{3}{2}\bigl(1 - \varepsilon^{2/3}\bigr).
Tomando \varepsilon\to0^+, vem \varepsilon^{2/3}\to0 e, portanto,
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\,dx = \frac{3}{2}.

Passo 3

Para
\int_{0}^{1} \frac{1}{x}\,dx,
escrevemos
\int_{0}^{1} x^{-1}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+} \int_{\varepsilon}^{1} x^{-1}\,dx.
A antiderivada de x^{-1} é \ln|x|, então
\int_{\varepsilon}^{1} x^{-1}\,dx = \bigl[\ln|x|\bigr]_{\varepsilon}^{1} = \ln(1) - \ln(\varepsilon) = -\ln(\varepsilon).
Como \lim_{\varepsilon\to0^+} -\ln(\varepsilon) = +\infty, concluímos que a integral diverge.

Resposta

a) \tfrac{3}{2}
b) diverge +\infty

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