O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais usando as regras usuais de diferenciação (produto, composta e soma).
Passo 2
Para obter as parciais, tratamos uma variável como variável e as outras como constantes:
– f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr)
=y^{2}+y\cos(xz)\cdot z.
– f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr)
=2xy+\operatorname{sen}(xz).
– f_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr)
=0 + y\cos(xz)\cdot x.
e pedem:
(a) as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y;
(b) mostrar que elas são contínuas em (0,0).
Usaremos regra do quociente para (x,y)\neq(0,0) e definição de derivada parcial no eixo para o ponto (0,0). Para a continuidade faremos estimações e aplicaremos o Teorema do Confronto.
Passo 5
Para (x,y)\neq(0,0), seja N=x^{2}y^{2} e D=x^{2}+y^{2},