Seja f(x, y, z)=x y^{2}+y \operatorname{sen}(x z)\). Calcule \(f_{x}(P)-f_{y}(P)+f_{z}(P), P=(1,2, \pi / 4)\). 7. Seja \(f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}} & ,(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & ,(x, y)=(0,0) .\end{cases}
(a) Determine \frac{\partial f}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial f}{\partial y}.
(b) Mostre que \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} são contínuas em (0,0).

Passo 1

No primeiro exercício temos a função
f(x,y,z)=x\,y^{2}+y\operatorname{sen}(xz)
e queremos calcular
f_{x}(P)-f_{y}(P)+f_{z}(P) \quad\text{em }P=(1,2,\pi/4).
O conteúdo é o cálculo de derivadas parciais usando as regras usuais de diferenciação (produto, composta e soma).

Passo 2

Para obter as parciais, tratamos uma variável como variável e as outras como constantes:
f_{x}=\frac{\partial}{\partial x}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr) =y^{2}+y\cos(xz)\cdot z.
f_{y}=\frac{\partial}{\partial y}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr) =2xy+\operatorname{sen}(xz).
f_{z}=\frac{\partial}{\partial z}(x\,y^{2})+\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\operatorname{sen}(xz)\bigr) =0 + y\cos(xz)\cdot x.

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,2,\pi/4):
f_{x}(P)=2^{2}+2\cdot\frac{\pi}{4}\cos\Bigl(1\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr) =4+\frac{\pi}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} =4+\frac{\pi\sqrt2}{4},
f_{y}(P)=2\cdot1\cdot2+\operatorname{sen}\Bigl(\frac{\pi}{4}\Bigr) =4+\frac{\sqrt2}{2}, \quad f_{z}(P)=1\cdot2\cdot\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2.
Logo
f_{x}(P)-f_{y}(P)+f_{z}(P) =\bigl(4+\tfrac{\pi\sqrt2}{4}\bigr) -\bigl(4+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr) +\sqrt2 =\frac{\pi\sqrt2}{4}+\frac{\sqrt2}{2} =\frac{\sqrt2\,(\pi+2)}{4}.

Passo 4

No segundo exercício temos
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{2}}{x^{2}+y^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pedem:
(a) as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y;
(b) mostrar que elas são contínuas em (0,0).
Usaremos regra do quociente para (x,y)\neq(0,0) e definição de derivada parcial no eixo para o ponto (0,0). Para a continuidade faremos estimações e aplicaremos o Teorema do Confronto.

Passo 5

Para (x,y)\neq(0,0), seja N=x^{2}y^{2} e D=x^{2}+y^{2},
f_{x} =\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^{2}} =\frac{2xy^{2}(x^{2}+y^{2})-x^{2}y^{2}\,2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
f_{y} =\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^{2}} =\frac{2x^{2}y(x^{2}+y^{2})-x^{2}y^{2}\,2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
No ponto (0,0), usando definição
f_{x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0, \quad f_{y}(0,0)=0.

Passo 6

Para verificar continuidade em (0,0), estimamos por exemplo
\bigl|f_{x}(x,y)\bigr| =\frac{2\,|x|\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} \le\frac{2\,|x|\,y^{4}}{y^{4}} =2|x|\xrightarrow[(x,y)\to(0,0)]{}0.
Analogamente \bigl|f_{y}(x,y)\bigr|\le2|y|\to0.
Como ambos tendem a 0=f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0), são contínuas em (0,0).

Resposta

– No exercício 1:
f_{x}(P)-f_{y}(P)+f_{z}(P) =\frac{\sqrt2\,(\pi+2)}{4}.
– No exercício 7(a):
f_{x}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x\,y^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases} \quad f_{y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x^{4}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0). \end{cases}
7(b) Essas derivadas parciais são contínuas em (0,0).

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