\int_{0}^{3} \int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral iterada
\int_{0}^{3} \int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\, d y\, d x.
Informações dadas:
\text{limites em }y: 1 \text{ a } 2,\qquad \text{limites em }x: 0 \text{ a } 3,
e a função integranda é x+y^{2}. A ordem indicada é integrar primeiro em y (de 1 a 2) e depois em x (de 0 a 3).

Passo 2

Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\,dy.
Explicação didática: a integral é linear, então podemos separar os termos. Além disso, ao integrar em y, x é tratado como constante. As antiderivadas úteis são:
\int x\,dy = x y \quad\text{(porque \(x\) é constante em relação a \(y\))},éçã
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Aplicando isso:
\int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\,dy = \left[ x y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{1}^{2}.
Agora avaliamos nos extremos y=2 e y=1:
\left. x y + \frac{y^{3}}{3} \right|_{y=2} = 2x + \frac{8}{3},
\left. x y + \frac{y^{3}}{3} \right|_{y=1} = x + \frac{1}{3}.
Subtraindo:
2x + \frac{8}{3} - \left(x + \frac{1}{3}\right) = x + \frac{7}{3}.
Portanto a integral interna resulta em x + \dfrac{7}{3}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x de 0 a 3:
\int_{0}^{3}\left(x+\frac{7}{3}\right)\,dx.
Integramos termo a termo. As antiderivadas são:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2},\qquad \int \frac{7}{3}\,dx = \frac{7}{3}x.
Logo
\int_{0}^{3}\left(x+\frac{7}{3}\right)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+\frac{7}{3}x\right]_{0}^{3}.
Avaliando em x=3:
\left.\frac{x^{2}}{2}+\frac{7}{3}x\right|_{x=3} = \frac{9}{2} + \frac{7}{3}\cdot 3 = \frac{9}{2} + 7.
Somando em forma de fração:
\frac{9}{2} + 7 = \frac{9}{2} + \frac{14}{2} = \frac{23}{2}.
Em x=0 a expressão vale 0, então a integral total é \dfrac{23}{2}.

Passo 4

Verificação rápida (mudando a ordem, apenas como checagem): calculo alternativo
\int_{1}^{2}\int_{0}^{3}\left(x+y^{2}\right)\,dx\,dy.
Integral interna em x:
\int_{0}^{3}\left(x+y^{2}\right)\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+y^{2}x\right]_{0}^{3} = \frac{9}{2}+3y^{2}.
Agora integrar em y de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\left(\frac{9}{2}+3y^{2}\right)\,dy = \left[\frac{9}{2}y + y^{3}\right]_{1}^{2} = \left(\frac{9}{2}\cdot 2 + 8\right) - \left(\frac{9}{2}\cdot 1 + 1\right) = \frac{23}{2},
confirmação da resposta anterior.

Resposta

\dfrac{23}{2}

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