\int_{0}^{3} \int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right) d y d x
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral iterada
\int_{0}^{3} \int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\, d y\, d x.
Informações dadas:
\text{limites em }y: 1 \text{ a } 2,\qquad \text{limites em }x: 0 \text{ a } 3,
e a função integranda é x+y^{2}. A ordem indicada é integrar primeiro em y (de 1 a 2) e depois em x (de 0 a 3).
Passo 2
Vamos calcular a integral interna em y:
\int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\,dy.
Explicação didática: a integral é linear, então podemos separar os termos. Além disso, ao integrar em y, x é tratado como constante. As antiderivadas úteis são:
\int x\,dy = x y \quad\text{(porque \(x\) é constante em relação a \(y\))},
\int y^{2}\,dy = \frac{y^{3}}{3}.
Aplicando isso:
\int_{1}^{2}\left(x+y^{2}\right)\,dy = \left[ x y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{1}^{2}.
Agora avaliamos nos extremos y=2 e y=1:
\left. x y + \frac{y^{3}}{3} \right|_{y=2} = 2x + \frac{8}{3},
\left. x y + \frac{y^{3}}{3} \right|_{y=1} = x + \frac{1}{3}.