Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hõpital.
(1,0 pts)
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital. A expressão dada é
Informações relevantes fornecidas: a função no numerador é
e o denominador é
. O ponto de interesse é
.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar a substituição direta
para ver qual forma obtemos. Calculamos o numerador e o denominador ao aproximar
por
:
Logo, ao substituir diretamente obtemos a forma
, que é uma indeterminação. Anota aí: a indeterminação é
.
Passo 3
Hora de revisar rapidamente o que diz a Regra de L’Hôpital (a nível prático, sem formalidade exagerada). Em linguagem simples:
- Se ao calcular
obtemos a forma ou , - e se
e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto talvez em em si), - então, se existir o limite
, ele é igual ao limite original:
Importante: precisamos checar que dá para derivar e que não estamos violando condições (derivadas bem definidas perto de
, etc.). Se após aplicar a regra o novo limite ainda for indeterminado, podemos aplicar L’Hôpital novamente (se as condições continuarem válidas).
Passo 4
Verificamos as condições para usar L’Hôpital no nosso caso:
-
e são funções diferenciáveis para todo . - Ao nos aproximarmos de
tínhamos a forma .
Portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 5
Calculamos as derivadas necessárias, com calma e explicando cada passo:
- Derivada de
: é vezes a derivada do expoente , que é . Então . - Derivada de
é .
Logo a derivada do numeradoré
A derivada do denominador
é
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite das derivadas:
Como o denominador agora é
(constante), o limite fica simplesmente o valor do numerador quando
:
Portanto o limite vale
.
Passo 7
Para dar mais confiança, mostro uma verificação alternativa rápida por desenvolvimento em série (sem formalidade demais): para
perto de
escrevemos
pequeno. Então
e o numerador fica
Dividindo por
dá
, que tende a
quando
. Combina com o resultado via L’Hôpital: limite
.
Passo 8
Recapitulando de forma motivadora: a indeterminação encontrada foi
, aplicamos L’Hôpital (derivando numerador e denominador), avaliamos o novo limite e obtivemos
. Dá pra fazer rápido na prova: derivada do numerador é
, do denominador é
, avaliar em
dá
.
Resposta
Indeterminação:
Limite:
Limite: