Indique o tipo de indeterminação e após resolva os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hõpital.
(1,0 pts) \lim _{x \rightarrow 1} \frac{e^{x-1}-x}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: indicar o tipo de indeterminação e, em seguida, calcular o limite usando a Regra de L’Hôpital. A expressão dada é
\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-x}{x-1}.
Informações relevantes fornecidas: a função no numerador é e^{x-1}-x e o denominador é x-1. O ponto de interesse é x=1.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar a substituição direta x=1 para ver qual forma obtemos. Calculamos o numerador e o denominador ao aproximar x por 1:
\text{numerador} = e^{1-1}-1 = e^{0}-1 = 1-1 = 0,
\text{denominador} = 1-1 = 0.
Logo, ao substituir diretamente obtemos a forma \frac{0}{0}, que é uma indeterminação. Anota aí: a indeterminação é \frac{0}{0}.

Passo 3

Hora de revisar rapidamente o que diz a Regra de L’Hôpital (a nível prático, sem formalidade exagerada). Em linguagem simples:
  • Se ao calcular \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)} obtemos a forma \dfrac{0}{0} ou \dfrac{\infty}{\infty},
  • e se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a em si),
  • então, se existir o limite \lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}, ele é igual ao limite original:
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Importante: precisamos checar que dá para derivar e que não estamos violando condições (derivadas bem definidas perto de a, etc.). Se após aplicar a regra o novo limite ainda for indeterminado, podemos aplicar L’Hôpital novamente (se as condições continuarem válidas).

Passo 4

Verificamos as condições para usar L’Hôpital no nosso caso:
  • f(x)=e^{x-1}-x e g(x)=x-1 são funções diferenciáveis para todo x.
  • Ao nos aproximarmos de x=1 tínhamos a forma \frac{0}{0}.
    Portanto podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 5

Calculamos as derivadas necessárias, com calma e explicando cada passo:
  • Derivada de e^{x-1}: é e^{x-1} vezes a derivada do expoente (x-1), que é 1. Então \dfrac{d}{dx}e^{x-1}=e^{x-1}.
  • Derivada de -x é -1.
    Logo a derivada do numerador f'(x) é
f'(x)=e^{x-1}-1.
A derivada do denominador g'(x) é
g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos o limite original pelo limite das derivadas:
\lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-x}{x-1} = \lim_{x\to 1}\frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to 1}\frac{e^{x-1}-1}{1}.
Como o denominador agora é 1 (constante), o limite fica simplesmente o valor do numerador quando x\to 1:
\lim_{x\to 1}\bigl(e^{x-1}-1\bigr) = e^{0}-1 = 1-1 = 0.
Portanto o limite vale 0.

Passo 7

Para dar mais confiança, mostro uma verificação alternativa rápida por desenvolvimento em série (sem formalidade demais): para x perto de 1 escrevemos h=x-1 pequeno. Então
e^{x-1}=e^{h}=1+h+\frac{h^{2}}{2}+\cdots,
e o numerador fica
e^{x-1}-x = \bigl(1+h+\tfrac{h^{2}}{2}+\cdots\bigr)-(1+h)=\tfrac{h^{2}}{2}+\cdots.
Dividindo por x-1=h \tfrac{h}{2}+\cdots, que tende a 0 quando h\to 0. Combina com o resultado via L’Hôpital: limite 0.

Passo 8

Recapitulando de forma motivadora: a indeterminação encontrada foi \frac{0}{0}, aplicamos L’Hôpital (derivando numerador e denominador), avaliamos o novo limite e obtivemos 0. Dá pra fazer rápido na prova: derivada do numerador é e^{x-1}-1, do denominador é 1, avaliar em x=1 0.

Resposta

Indeterminação: \dfrac{0}{0}
Limite: 0

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