\int_{0}^{1} \ln (1+x) d x=2 \ln 2-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx.
O conteúdo principal é integração de uma função logarítmica e para resolver vamos usar o método de integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(1+x),\quad dv = dx,
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du = \frac{1}{1+x}\,dx,\quad v = x.
Pela fórmula de integração por partes
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx = \Bigl[x\ln(1+x)\Bigr]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x}\,dx.

Passo 3

Calculamos o termo de fronteira:
\Bigl[x\ln(1+x)\Bigr]_{0}^{1} = 1\cdot\ln2 \;-\; 0\cdot\ln1 = \ln2.

Passo 4

Para a integral restante, escrevemos
\frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x},
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\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x}\,dx = \int_{0}^{1}\Bigl(1 - \frac{1}{1+x}\Bigr)\,dx = \Bigl[x - \ln(1+x)\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \ln2.

Passo 5

Substituindo esses resultados na expressão original:
\int_{0}^{1} \ln(1+x)\,dx = \ln2 \;-\;(1 - \ln2) = 2\ln2 - 1.

Resposta

2\ln2 - 1

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