\int_{0}^{\pi} \cos ^{2} x d x=\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx
Esse cálculo envolve redução de potência em funções trigonométricas, usando identidades para facilitar a integração de \cos^{2}x.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência
\cos^{2}x = \frac{1+\cos(2x)}{2},
que transforma uma função quadrática em seno ou cosseno de ângulo duplo mais uma constante.

Passo 3

Substituindo essa identidade na integral original, obtemos
\int_{0}^{\pi}\cos^{2}x\,dx = \int_{0}^{\pi}\frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx = \frac{1}{2}\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}\,\pi = \frac{\pi}{2},
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[\frac{\sin(2x)}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(2\pi)-\sin(0)\bigr) = 0.

Passo 5

Somando os resultados dos dois termos, obtemos
\frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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