(a)
;
(b)
.
6. Use o Teorema do Divergente para calcular
(a)
é a superfície da caixa de vértices
;
(b)
é a superfície do sólido limitado pelo cilindro
e os planos
e
;
(c)
onde
é a superfície do tetraedro limitado pelos planos
e
.
(b)
6. Use o Teorema do Divergente para calcular
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência (ou Gauss) para calcular
nos três casos. Esse teorema diz que, se
é o volume limitado por
com orientação externa, então
Logo, em cada item basta achar
e avaliar o respectivo integral triplo sobre o volume indicado.
Passo 2
Item (a):
e
.
Calculemos
Calculemos
Então
Mas
, logo o resultado é
.
Passo 3
Item (b):
e
.
Primeiro
Primeiro
Em coordenadas cilíndricas no plano
, ponha
,
, com
,
. O volume é
Isso dá
Passo 4
Item (c):
no tetraedro
definido por
,
,
e
.
Calcule
Calcule
O integral triplo é
Primeiro integramos em
:
. Logo
Fazendo a conta (por exemplo via substituição
) obtém-se
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)