(a) \int_{C}(f \nabla g) \cdot d r=\iint_{S}(\nabla f \times \nabla g) \cdot d S;
(b) \int_{C}(f \nabla f) \cdot d r=0.
6. Use o Teorema do Divergente para calcular \iint_{S} F \cdot d S
(a) F(x, y, z)=x^{2} z^{3} \vec{i}+2 x y z^{3} \vec{j}+x z^{4} \vec{k}, S é a superfície da caixa de vértices ( \pm 1, \pm 2, \pm 3);
(b) F(x, y, z)=3 x y^{2} \vec{i}+x e^{z} \vec{j}+z^{3} \vec{j}, S é a superfície do sólido limitado pelo cilindro y^{2}+z^{2}=1 e os planos x=0 e x=1;
(c) F(x, y, z)=x^{2} y \vec{i}+x y^{2} \vec{j}+2 x y z \vec{k} onde S é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x=0, y=0 e x+2 y+z=2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema da Divergência (ou Gauss) para calcular
\iint_{S}F\cdot dS
nos três casos. Esse teorema diz que, se V é o volume limitado por S com orientação externa, então
\iint_{S}F\cdot dS \;=\;\iiint_{V}\nabla\cdot F\;dV.
Logo, em cada item basta achar \nabla\cdot F e avaliar o respectivo integral triplo sobre o volume indicado.

Passo 2

Item (a):
F(x,y,z)=(x^{2}z^{3},\,2xyz^{3},\,xz^{4}) e V=[-1,1]\times[-2,2]\times[-3,3].
Calculemos
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}z^{3}) +\frac{\partial}{\partial y}(2xyz^{3}) +\frac{\partial}{\partial z}(xz^{4}) =2xz^{3}+2xz^{3}+4xz^{3} =8xz^{3}.
Então
\iint_{S}F\cdot dS =\iiint_{V}8xz^{3}\,dV =8\Bigl(\int_{-1}^{1}x\,dx\Bigr) \Bigl(\int_{-2}^{2}dy\Bigr) \Bigl(\int_{-3}^{3}z^{3}\,dz\Bigr).
Mas \displaystyle\int_{-1}^{1}x\,dx=0, logo o resultado é 0.

Passo 3

Item (b):
F(x,y,z)=(3xy^{2},\,xe^{z},\,z^{3}) e V=\{0\le x\le1,\;y^{2}+z^{2}\le1\}.
Primeiro
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2}) +\frac{\partial}{\partial y}(xe^{z}) +\frac{\partial}{\partial z}(z^{3}) =3y^{2}+0+3z^{2} =3(y^{2}+z^{2}).
Em coordenadas cilíndricas no plano yz, ponha y=r\cos\theta, z=r\sin\theta, com 0\le r\le1, 0\le\theta<2\pi. O volume é
\int_{x=0}^{1}\!\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\!\int_{r=0}^{1} 3r^{2}\,(r\,dr\,d\theta\,dx) =3\Bigl(\int_{0}^{1}dx\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Bigr) \Bigl(\int_{0}^{1}r^{3}dr\Bigr).
Isso dá
3\cdot1\cdot2\pi\cdot\frac{1}{4} =\frac{3\pi}{2}.

Passo 4

Item (c):
F(x,y,z)=(x^{2}y,\;xy^{2},\;2xyz) no tetraedro V definido por x\ge0, y\ge0, z\ge0 e x+2y+z\le2.
Calcule
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y) +\frac{\partial}{\partial y}(xy^{2}) +\frac{\partial}{\partial z}(2xyz) =2xy+2xy+2xy =6xy.
O integral triplo é
\iiint_{V}6xy\,dV =6\int_{x=0}^{2}\!\!\int_{y=0}^{\frac{2-x}{2}} \!\!\int_{z=0}^{2-x-2y}xy\,dz\,dy\,dx.
Primeiro integramos em z: \int_{0}^{2-x-2y}dz=2-x-2y. Logo
6\int_{0}^{2}\int_{0}^{\frac{2-x}{2}}xy\,(2-x-2y)\,dy\,dx.
Fazendo a conta (por exemplo via substituição u=2-x) obtém-se
\frac{2}{5}.

Resposta

(a) 0
(b) \tfrac{3\pi}{2}
(c) \tfrac{2}{5}

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