1. \int \operatorname{sec} ^{8} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\frac{1}{7} \tan ^{7} x+\frac{3}{5} \tan ^{5} x+\tan ^{3} x+\tan x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sec}^8 x \, dx.
Este é um caso de potência par da secante. Vamos usar a identidade
\operatorname{sec}^2 x = 1 + \tan^2 x
e a substituição
u = \tan x,\quad du = \operatorname{sec}^2 x\,dx,
que é o caminho clássico para integrar potências de secante.

Passo 2

Reescrevendo \operatorname{sec}^8 x = (\operatorname{sec}^2 x)^3\cdot\operatorname{sec}^2 x
e aplicando a identidade, obtemos
\int \operatorname{sec}^8 x \, dx = \int (\operatorname{sec}^2 x)^3\,\operatorname{sec}^2 x \, dx = \int (1 + \tan^2 x)^3\,\operatorname{sec}^2 x \, dx.

Passo 3

Com a substituição u = \tan x e du = \operatorname{sec}^2 x\,dx, a integral vira
\int (1 + u^2)^3 \, du.

Passo 4

Expandimos o binômio:
(1 + u^2)^3 = 1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6,
então
\int (1 + u^2)^3 \, du = \int\bigl(1 + 3u^2 + 3u^4 + u^6\bigr)\,du.

Passo 5

Integramos termo a termo:
\int 1\,du = u, \quad \int 3u^2\,du = u^3, \quad \int 3u^4\,du = \frac{3}{5}u^5, \quad \int u^6\,du = \frac{1}{7}u^7.
Somando, fica
u + u^3 + \frac{3}{5}u^5 + \frac{1}{7}u^7 + C.

Passo 6

Voltando à variável x (lembre que u=\tan x), concluímos
\int \operatorname{sec}^8 x\,dx = \tan x + \tan^3 x + \frac{3}{5}\tan^5 x + \frac{1}{7}\tan^7 x + C.
Organizando do termo de maior para o de menor potência:

Resposta

\frac{1}{7}\tan^7 x + \frac{3}{5}\tan^5 x + \tan^3 x + \tan x + C.

Exercícios relacionados