1. \int \operatorname{sen}^{4} x d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\operatorname{resp} . \quad-\frac{1}{2} \cos x \operatorname{sen} x+\frac{1}{2} x+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \operatorname{sen}^4 x\,dx
Este é um caso de integração de potência de seno, e vamos usar as fórmulas de redução de potência (identidades de ângulo duplo) para reescrever \operatorname{sen}^4 x em termos de cossenos de múltiplos ângulos, o que facilita a integração.

Passo 2

Primeiro escrevemos
\operatorname{sen}^4 x = (\operatorname{sen}^2 x)^2
e usamos a identidade de redução
\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
Logo,
\operatorname{sen}^4 x = \bigl(\tfrac{1 - \cos(2x)}{2}\bigr)^2 = \frac{1}{4}\bigl(1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)\bigr).
Para \cos^2(2x) aplicamos
\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2},
então
\operatorname{sen}^4 x = \frac{1}{4}\Bigl(1 - 2\cos(2x) + \tfrac{1 + \cos(4x)}{2}\Bigr) = \frac{3}{8} \;-\;\frac{1}{2}\cos(2x)\;+\;\frac{1}{8}\cos(4x).

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
\int \operatorname{sen}^4 x\,dx = \int \Bigl(\tfrac{3}{8} - \tfrac{1}{2}\cos(2x) + \tfrac{1}{8}\cos(4x)\Bigr)\,dx = \frac{3}{8}\int dx \;-\;\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx \;+\;\frac{1}{8}\int \cos(4x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral:
\int dx = x, \quad \int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin(2x)}{2}, \quad \int \cos(4x)\,dx = \frac{\sin(4x)}{4}.
Substituindo,
\int \operatorname{sen}^4 x\,dx = \frac{3}{8}\,x \;-\;\frac{1}{2}\cdot\frac{\sin(2x)}{2} \;+\;\frac{1}{8}\cdot\frac{\sin(4x)}{4} + C = \frac{3}{8}\,x -\frac{1}{4}\,\sin(2x) +\frac{1}{32}\,\sin(4x) + C.

Resposta

\boxed{ \int \operatorname{sen}^4 x\,dx = \frac{3}{8}\,x -\frac{1}{4}\,\sin(2x) +\frac{1}{32}\,\sin(4x) + C }.

Exercícios relacionados