\int \operatorname{sen}(m x) \cos (n x) d x, \int \operatorname{sen}(m x) \operatorname{sen}(n x) d x, \int \cos (m x) \cos (n x) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos, em forma fechada, as integrais abaixo em função das constantes reais m e n:
\int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx,\qquad \int \operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx,\qquad \int \cos(mx)\cos(nx)\,dx.
Informações relevantes dadas (e hipóteses que vou usar): m e n são constantes reais. Vou tratar o caso geral e as situações especiais em que aparecem denominadores zero (por exemplo m\pm n=0), porque essas situações mudam a forma da primitiva.

Passo 2

Primeiro vou apresentar e derivar as identidades trigonométricas “produto para soma” que usaremos, mostrando de onde elas vêm (assim você aprende a usar na prova sem decorar cegamente).
Começo com as fórmulas de soma e diferença:
\operatorname{sen}(a\pm b)=\operatorname{sen} a\cos b \pm \cos a\operatorname{sen} b, \qquad \cos(a\pm b)=\cos a\cos b \mp \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.
Agora derivamos as fórmulas produto→soma usadas com frequência:
  • Para \operatorname{sen} a\cos b: some as duas fórmulas \operatorname{sen}(a+b) e \operatorname{sen}(a-b):
\operatorname{sen}(a+b)=\operatorname{sen} a\cos b+\cos a\operatorname{sen} b,
\operatorname{sen}(a-b)=\operatorname{sen} a\cos b-\cos a\operatorname{sen} b.
Somando as duas igualdades:
\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a-b)=2\operatorname{sen} a\cos b,
logo
\operatorname{sen} a\cos b=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}(a+b)+\operatorname{sen}(a-b)\big).
  • Para \operatorname{sen} a\operatorname{sen} b: subtraia \cos(a+b) de \cos(a-b) (ou use as fórmulas de \cos):
\cos(a-b)=\cos a\cos b+\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,
\cos(a+b)=\cos a\cos b-\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b.
Subtraindo:
\cos(a-b)-\cos(a+b)=2\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b,
logo
\operatorname{sen} a\operatorname{sen} b=\tfrac{1}{2}\big(\cos(a-b)-\cos(a+b)\big).
  • Para \cos a\cos b: some \cos(a-b) e \cos(a+b):
\cos(a-b)+\cos(a+b)=2\cos a\cos b,
portanto
\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}\big(\cos(a-b)+\cos(a+b)\big).
Estas três identidades são as ferramentas principais para transformar produto de sen/cos em somas que integram facilmente.

Passo 3

Agora lembro as primitivas básicas que usarei e como obtê-las (caso você precise deduzir na prova):
  • Para k\neq 0:
\int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx)+C, \qquad \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C.
Derivação rápida: faça u=kx, então du=k\,dx e \int \operatorname{sen}(kx)\,dx = \int \operatorname{sen} u\cdot\frac{du}{k} = -\frac{1}{k}\cos u + C.
  • Para k=0: \operatorname{sen}(0\cdot x)=0 e \cos(0\cdot x)=1. Logo
\int 0\,dx = C,\qquad \int 1\,dx = x + C.
Esses casos aparecem quando m\pm n=0.

Passo 4

Integro \int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx.
Usando a identidade do Passo 2 com a=mx e b=nx:
\operatorname{sen}(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\operatorname{sen}((m+n)x)+\operatorname{sen}((m-n)x)\big).
Portanto, integrando termo a termo (supondo inicialmente que m+n\neq 0 e m-n\neq 0):
\int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}((m+n)x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}((m-n)x)\,dx.
Aplicando as primitivas do Passo 3:
= -\tfrac{1}{2}\frac{\cos((m+n)x)}{m+n} - \tfrac{1}{2}\frac{\cos((m-n)x)}{m-n} + C, \qquad \text{(se \(m\pm n\neq 0\)).}
Agora trato as situações especiais:
  • Se m=n então m-n=0. Volto à identidade: \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2mx). Assim
\int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2mx)\,dx = -\tfrac{1}{4m}\cos(2mx) + C.
  • Se m=-n então m+n=0. A identidade dá \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}((m-n)x) com (m-n)= -2n. Podemos também simplificar diretamente: para m=-n,
\operatorname{sen}(mx)\cos(nx)=\operatorname{sen}(-nx)\cos(nx)=-\operatorname{sen}(nx)\cos(nx)=-\tfrac{1}{2}\operatorname{sen}(2nx),
portanto
\int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx = -\tfrac{1}{2}\int \operatorname{sen}(2nx)\,dx = \tfrac{1}{4n}\cos(2nx)+C.
(As duas formas coincidem se realizadas corretamente.)

Passo 5

Integro \int \operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx.
Use a identidade do Passo 2:
\operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\big).
Integrando:
\int \operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \cos((m-n)x)\,dx - \tfrac{1}{2}\int \cos((m+n)x)\,dx.
Para m\pm n\neq 0 aplicamos as primitivas:
= \tfrac{1}{2}\frac{\operatorname{sen}((m-n)x)}{m-n} - \tfrac{1}{2}\frac{\operatorname{sen}((m+n)x)}{m+n} + C.
Casos especiais:
  • Se m=n então m-n=0. A identidade vira \operatorname{sen}^2(mx)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2mx)). Assim
\int \operatorname{sen}^2(mx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int 1\,dx - \tfrac{1}{2}\int \cos(2mx)\,dx = \tfrac{1}{2}x - \tfrac{1}{4m}\operatorname{sen}(2mx) + C.
  • Se m=-n então m+n=0. A identidade vira \operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(-m x)=-\operatorname{sen}^2(mx) e conduzirá a uma forma equivalente (pode-se aplicar o caso m=n com sinal apropriado).

Passo 6

Integro \int \cos(mx)\cos(nx)\,dx.
Use a identidade do Passo 2:
\cos(mx)\cos(nx)=\tfrac{1}{2}\big(\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)\big).
Logo
\int \cos(mx)\cos(nx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int \cos((m-n)x)\,dx + \tfrac{1}{2}\int \cos((m+n)x)\,dx.
Para m\pm n\neq 0:
= \tfrac{1}{2}\frac{\operatorname{sen}((m-n)x)}{m-n} + \tfrac{1}{2}\frac{\operatorname{sen}((m+n)x)}{m+n} + C.
Casos especiais:
  • Se m=n então \cos^2(mx)=\tfrac{1}{2}(1+\cos(2mx)), e
\int \cos^2(mx)\,dx = \tfrac{1}{2}\int 1\,dx + \tfrac{1}{2}\int \cos(2mx)\,dx = \tfrac{1}{2}x + \tfrac{1}{4m}\operatorname{sen}(2mx) + C.
  • Se m=-n então \cos(mx)\cos(-mx)=\cos^2(mx) e obtem-se a mesma fórmula do caso m=n.

Passo 7

Pequeno resumo prático (como decorar/usar rápido na prova):
  • Transforme produtos em soma com as três fórmulas do Passo 2.
  • Integre termo a termo usando \int \operatorname{sen}(kx)\,dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) e \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx).
  • Sempre verifique se m\pm n=0; nesses casos volte à identidade e simplifique antes de integrar (evita divisão por zero).
    Você consegue — só seguir esses passos sistematicamente.

Resposta

\int \operatorname{sen}(mx)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} -\dfrac{1}{2}\dfrac{\cos((m+n)x)}{m+n}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\cos((m-n)x)}{m-n}+C, & \text{se }m\pm n\neq 0,\\[6pt] -\dfrac{1}{4m}\cos(2mx)+C, & \text{se }m=n\\ (\text{ou seja }m-n=0),\\[6pt] \dfrac{1}{4n}\cos(2nx)+C, & \text{se }m=-n\\ (\text{ou seja }m+n=0). \end{cases}
\int \operatorname{sen}(mx)\operatorname{sen}(nx)\,dx= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\dfrac{\operatorname{sen}((m-n)x)}{m-n}-\dfrac{1}{2}\dfrac{\operatorname{sen}((m+n)x)}{m+n}+C, & \text{se }m\pm n\neq 0,\\[6pt] \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4m}\operatorname{sen}(2mx)+C, & \text{se }m=n,\\[6pt] -\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4m}\operatorname{sen}(2mx)+C, & \text{se }m=-n. \end{cases}
\int \cos(mx)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} \dfrac{1}{2}\dfrac{\operatorname{sen}((m-n)x)}{m-n}+\dfrac{1}{2}\dfrac{\operatorname{sen}((m+n)x)}{m+n}+C, & \text{se }m\pm n\neq 0,\\[6pt] \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{4m}\operatorname{sen}(2mx)+C, & \text{se }m=n\\ (\text{ou }m=-n). \end{cases}]

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