\int \operatorname{sen}(m x) \cos (n x) d x, \int \operatorname{sen}(m x) \operatorname{sen}(n x) d x, \int \cos (m x) \cos (n x) d x
Passo 1
O enunciado pede que calculemos, em forma fechada, as integrais abaixo em função das constantes reais
e
:
Informações relevantes dadas (e hipóteses que vou usar):
e
são constantes reais. Vou tratar o caso geral e as situações especiais em que aparecem denominadores zero (por exemplo
), porque essas situações mudam a forma da primitiva.
Passo 2
Primeiro vou apresentar e derivar as identidades trigonométricas “produto para soma” que usaremos, mostrando de onde elas vêm (assim você aprende a usar na prova sem decorar cegamente).
Começo com as fórmulas de soma e diferença:
Agora derivamos as fórmulas produto→soma usadas com frequência:
- Para
: some as duas fórmulas e :
Somando as duas igualdades:
logo
- Para
: subtraia de (ou use as fórmulas de ):
Subtraindo:
logo
- Para
: some e :
portanto
Estas três identidades são as ferramentas principais para transformar produto de sen/cos em somas que integram facilmente.
Passo 3
Agora lembro as primitivas básicas que usarei e como obtê-las (caso você precise deduzir na prova):
- Para
:
Derivação rápida: faça
, então
e
.
- Para
: e . Logo
Esses casos aparecem quando
.
Passo 4
Integro
.
Usando a identidade do Passo 2 com
e
:
Portanto, integrando termo a termo (supondo inicialmente que
e
):
Aplicando as primitivas do Passo 3:
Agora trato as situações especiais:
- Se
então . Volto à identidade: . Assim
- Se
então . A identidade dá com . Podemos também simplificar diretamente: para ,
portanto
(As duas formas coincidem se realizadas corretamente.)
Passo 5
Integro
.
Use a identidade do Passo 2:
Integrando:
Para
aplicamos as primitivas:
Casos especiais:
- Se
então . A identidade vira . Assim
- Se
então . A identidade vira e conduzirá a uma forma equivalente (pode-se aplicar o caso com sinal apropriado).
Passo 6
Integro
.
Use a identidade do Passo 2:
Logo
Para
:
Casos especiais:
- Se
então , e
- Se
então e obtem-se a mesma fórmula do caso .
Passo 7
Pequeno resumo prático (como decorar/usar rápido na prova):
- Transforme produtos em soma com as três fórmulas do Passo 2.
- Integre termo a termo usando
e . - Sempre verifique se
; nesses casos volte à identidade e simplifique antes de integrar (evita divisão por zero).
Você consegue — só seguir esses passos sistematicamente.