Se m=n, então pode=se usar \operatorname{sen}(x) \cos (x)=\frac{1}{2} \operatorname{sen}(2 x).
Calcule \int \operatorname{sen}^{4}(x) \cos ^{5}(x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{5}(x)\,dx.
Informações claras que temos:
  • O integrando é \operatorname{sen}^{4}(x)\cos^{5}(x).
  • Os expoentes são inteiros; em particular o expoente de \cos é ímpar ( 5).
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) em termos de x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática e motivação): quando o expoente de seno ou cosseno é ímpar, uma técnica muito prática é separar um fator do seno ou do cosseno (o que tem expoente ímpar) e usar a substituição u=\sin x ou u=\cos x, transformando a integral numa polinomial em u. Aqui o expoente ímpar é o da \cos (igual a 5), então vamos fatorar um \cos x e usar u=\sin x. Isso funciona porque du=\cos x\,dx, o que aparece exatamente após fatorarmos.

Passo 3

Reescrever o integrando de forma conveniente:
\cos^{5}x = \cos^{4}x\cdot\cos x = (\cos^{2}x)^{2}\cos x.
Usamos a identidade pitagórica para escrever \cos^{2}x em função de \sin x:
\cos^{2}x = 1-\sin^{2}x.
Portanto o integrando vira
\operatorname{sen}^{4}x\cos^{5}x = \operatorname{sen}^{4}x\,(1-\operatorname{sen}^{2}x)^{2}\cos x.

Passo 4

Fazer a substituição u=\operatorname{sen}x. Então
du=\cos x\,dx.
Substituindo na integral obtemos (toda a parte trigonométrica passa a depender de u e \cos x\,dx vira du):
\int \operatorname{sen}^{4}x\cos^{5}x\,dx = \int u^{4}(1-u^{2})^{2}\,du.

Passo 5

Expandir o polinômio para integrar mais facilmente. Primeiro
(1-u^{2})^{2} = 1 - 2u^{2} + u^{4}.
Multiplicando por u^{4}
u^{4}(1-u^{2})^{2} = u^{4} - 2u^{6} + u^{8}.

Passo 6

Integrar termo a termo (regra: \int u^{n}\,du = \dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1):
\int (u^{4} - 2u^{6} + u^{8})\,du = \frac{u^{5}}{5} - 2\cdot\frac{u^{7}}{7} + \frac{u^{9}}{9} + C.

Passo 7

Voltar à variável original substituindo u=\operatorname{sen}x. Assim a primitiva em x é obtida ao substituir u por \operatorname{sen}x na expressão anterior.

Resposta

\frac{\operatorname{sen}^{5}x}{5}-\frac{2\operatorname{sen}^{7}x}{7}+\frac{\operatorname{sen}^{9}x}{9}+C

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