Se
, então pode=se usar
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva
Informações claras que temos:
- O integrando é
. - Os expoentes são inteiros; em particular o expoente de
é ímpar ( ). - O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) em termos de
, mais a constante de integração .
Passo 2
Escolha do método (explicação didática e motivação): quando o expoente de seno ou cosseno é ímpar, uma técnica muito prática é separar um fator do seno ou do cosseno (o que tem expoente ímpar) e usar a substituição
ou
, transformando a integral numa polinomial em
. Aqui o expoente ímpar é o da
(igual a
), então vamos fatorar um
e usar
. Isso funciona porque
, o que aparece exatamente após fatorarmos.
Passo 3
Reescrever o integrando de forma conveniente:
Usamos a identidade pitagórica para escrever
em função de
:
Portanto o integrando vira
Passo 4
Fazer a substituição
. Então
Substituindo na integral obtemos (toda a parte trigonométrica passa a depender de
e
vira
):
Passo 5
Expandir o polinômio para integrar mais facilmente. Primeiro
Multiplicando por
dá
Passo 6
Integrar termo a termo (regra:
para
):
Passo 7
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva em
é obtida ao substituir
por
na expressão anterior.