1. \int \operatorname{sen}^{p} x \cos ^{3} x d x \left(\operatorname{resp} . \quad \frac{(\sin x)^{1+p}}{1+p}-\frac{(\sin x)^{3+p}}{3+p}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \sin^{p}x \,\cos^{3}x\,dx
O conteúdo necessário envolve a técnica de substituição em integrais e a identidade trigonométrica \cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x, \qquad du = \cos x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em u:
\cos^{3}x\,dx = \cos^{2}x\,(\cos x\,dx) = (1 - \sin^{2}x)\,du = (1 - u^{2})\,du,
e também \sin^{p}x = u^{p}.

Passo 4

Substituindo na integral, obtemos
\int \sin^{p}x\,\cos^{3}x\,dx = \int u^{p}\,(1 - u^{2})\,du = \int \bigl(u^{p} - u^{p+2}\bigr)\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1} \;-\;\frac{u^{p+3}}{p+3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x por u=\sin x, a primitiva fica
\frac{(\sin x)^{p+1}}{p+1} \;-\;\frac{(\sin x)^{p+3}}{p+3} + C.

Resposta

\frac{(\sin x)^{p+1}}{p+1} \;-\;\frac{(\sin x)^{p+3}}{p+3} + C

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