\int \operatorname{tg}^{4} x d x. Sugestão. Mostre que \operatorname{tg}^{4} x=\operatorname{tg}^{2} x \cdot \operatorname{tg}^{2} x=\operatorname{sec} ^{2} x \cdot \operatorname{tg}^{2} x- \operatorname{sec} ^{2} \mathrm{x}+1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{4}x\,dx
O conteúdo envolve identidades trigonométricas (em especial \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1) e substituição u=\tan x.

Passo 2

Usamos a identidade \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 para reescrever
\tan^{4}x=\tan^{2}x\cdot\tan^{2}x =\tan^{2}x\,(\operatorname{sec}^{2}x-1) =\tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x-\tan^{2}x
e como \tan^{2}x=\operatorname{sec}^{2}x-1 temos
\tan^{4}x =\tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x-(\operatorname{sec}^{2}x-1) =\tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x-\operatorname{sec}^{2}x+1.

Passo 3

Separando a integral:
\int \tan^{4}x\,dx =\int \tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx -\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx +\int 1\,dx.
Para a primeira parte faça u=\tan x, logo du=\operatorname{sec}^{2}x\,dx, então
\int \tan^{2}x\operatorname{sec}^{2}x\,dx =\int u^{2}\,du =\frac{u^{3}}{3} =\frac{\tan^{3}x}{3}.

Passo 4

As outras integrais são diretas:
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x, \qquad \int 1\,dx=x.
Somando tudo e adicionando a constante C, obtemos
\frac{\tan^{3}x}{3}-\tan x+x+C.

Resposta

\displaystyle \int \tan^{4}x\,dx =\frac{\tan^{3}x}{3}-\tan x+x+C

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