\int \frac{d x}{\cos ^{2} x(3 \operatorname{tg} x+1)}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{dx}{\cos^{2}x\,(3\tan x+1)}.
O conteúdo é integração de função trigonométrica usando substituição. Vamos identificar uma derivada simples para simplificar o integrando.

Passo 2

Observe que a derivada de \tan x é
\frac{d}{dx}(\tan x)=\frac{1}{\cos^{2}x},
logo podemos usar a substituição
t = \tan x, \quad dt = \frac{dx}{\cos^{2}x}.

Passo 3

Com essa substituição, a integral em x vira uma integral em t:
\int \frac{dx}{\cos^{2}x\,(3\tan x+1)} = \int \frac{dt}{3t+1}.
Essa é uma integral padrão do tipo
\int \frac{du}{a\,u + b} = \frac{1}{a}\ln\bigl|a\,u + b\bigr|+C.

Passo 4

Aplicando a fórmula com a=3 e u=t, obtemos
\int \frac{dt}{3t+1} = \frac{1}{3}\ln\bigl|3t+1\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável original, t=\tan x, a primitiva é
\frac{1}{3}\ln\bigl|3\tan x+1\bigr| + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\ln\bigl|3\tan x+1\bigr| + C

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