Passo 1
O que a questão pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é
. Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há condições iniciais; a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Ideia geral e ferramenta que vamos usar: quando temos uma função composta do tipo
(onde
é constante), o caminho mais direto é usar a substituição (método da mudança de variável) para “desfazer” a composição. A substituição consiste em definir uma nova variável
igual ao argumento da função trigonométrica. Aqui tomamos
Agora vamos relacionar
com
. Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
teremos
Explicação didática: a substituição troca a integral em
por uma integral em
mais simples — geralmente a integral de
ou
que já sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Substituindo
e
na integral original:
Fatorando a constante fora da integral:
Passo 4
Integrar
em
. Lembrete básico: a derivada de
é
, ou seja,
Isso implica que uma primitiva de
é
, pois derivando
volta-se a
. Portanto
onde
é a constante de integração. (Explicação amigável: integrar é o processo inverso de derivar; como
deriva para
, precisamos do sinal negativo.)
Passo 5
Voltar ao
e multiplicar a constante que tiramos fora. Substituindo o resultado da integral em
na expressão do Passo 3:
Agora lembramos que
, então
Passo 6
Verificação (muito útil na prova): derivar a resposta obtida deve retornar o integrando. Calculemos a derivada de
:
Aqui usei a regra da cadeia:
. Simplificando:
Como a derivada é exatamente
, a primitiva está correta.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar: se fosse
, seguindo o mesmo raciocínio a resposta seria
. Padrão geral: para
tem-se
.