\int \sin (4 x) d x

Passo 1

O que a questão pede: calcular a integral indefinida
\int \sin(4x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é \sin(4x). Precisa-se encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=\sin(4x). Não há condições iniciais; a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Ideia geral e ferramenta que vamos usar: quando temos uma função composta do tipo \sin(ax) (onde a é constante), o caminho mais direto é usar a substituição (método da mudança de variável) para “desfazer” a composição. A substituição consiste em definir uma nova variável u igual ao argumento da função trigonométrica. Aqui tomamos
u = 4x.
Agora vamos relacionar du com dx. Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
\frac{du}{dx}=4 \quad\Rightarrow\quad du = 4\,dx.
Isolando dx teremos
dx = \frac{du}{4}.
Explicação didática: a substituição troca a integral em x por uma integral em u mais simples — geralmente a integral de \sin(u) ou \cos(u) que já sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Substituindo u=4x e dx=\dfrac{du}{4} na integral original:
\int \sin(4x)\,dx = \int \sin(u)\cdot\frac{du}{4}.
Fatorando a constante fora da integral:
\int \sin(4x)\,dx = \frac{1}{4}\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Integrar \sin(u) em u. Lembrete básico: a derivada de \cos(u) é -\sin(u), ou seja,
\frac{d}{du}\big(\cos(u)\big) = -\sin(u).
Isso implica que uma primitiva de \sin(u) é -\cos(u), pois derivando -\cos(u) volta-se a \sin(u). Portanto
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração. (Explicação amigável: integrar é o processo inverso de derivar; como \cos deriva para -\sin, precisamos do sinal negativo.)

Passo 5

Voltar ao x e multiplicar a constante que tiramos fora. Substituindo o resultado da integral em u na expressão do Passo 3:
\int \sin(4x)\,dx = \frac{1}{4}\big(-\cos(u)\big) + C = -\frac{1}{4}\cos(u) + C.
Agora lembramos que u=4x, então
\int \sin(4x)\,dx = -\frac{1}{4}\cos(4x) + C.

Passo 6

Verificação (muito útil na prova): derivar a resposta obtida deve retornar o integrando. Calculemos a derivada de F(x) = -\dfrac{1}{4}\cos(4x):
F'(x) = -\frac{1}{4}\cdot\big(-\sin(4x)\big)\cdot 4.
Aqui usei a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\cos(4x) = -\sin(4x)\cdot 4. Simplificando:
F'(x) = -\frac{1}{4}\cdot(-4)\sin(4x) = \sin(4x).
Como a derivada é exatamente \sin(4x), a primitiva está correta.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar: se fosse \int \sin(2x)\,dx, seguindo o mesmo raciocínio a resposta seria -\dfrac{1}{2}\cos(2x)+C. Padrão geral: para \int \sin(ax)\,dx tem-se -\dfrac{1}{a}\cos(ax)+C.

Resposta

-\dfrac{1}{4}\cos(4x)+C

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