\int x e^{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x e^{2x}\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é o produto de x (polinômio de grau 1) por e^{2x} (exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x e^{2x}.

Passo 2

Escolha do método: quando temos um produto entre uma função polinomial (como x) e uma função exponencial (como e^{2x}), o método mais direto é a técnica de integração por partes. Essa escolha vem do fato que derivar o polinômio simplifica (a derivada de x é 1) e integrar a exponencial é simples também. Então vamos usar integração por partes.

Passo 3

Apresentando a fórmula e explicando cada termo. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du + C.
Aqui:
  • u é uma função escolhida para ser derivada (gera du); preferimos escolher algo que simplifique ao derivar.
  • dv é a parte que será integrada para obter v (isto é, v=\int dv).
  • du é a diferencial de u: se u=u(x) então du=u'(x)\,dx.
  • v é uma primitiva de dv.
No nosso caso vamos escolher u de modo que du fique simples (no produto x e^{2x}, escolha natural é u=x).

Passo 4

Escolhendo u e dv e calculando du e v.
Escolha:
u = x,\qquad dv = e^{2x}\,dx.
Então:
du = dx
e precisamos calcular
v = \int e^{2x}\,dx.
Regra útil: para qualquer constante a\neq0,
\int e^{a x}\,dx = \frac{1}{a}e^{a x}+C.
Usando a=2 obtemos
v = \frac{1}{2}e^{2x}.

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x e^{2x}\,dx = u v - \int v\,du.
Substituindo u, v e du:
\int x e^{2x}\,dx = x\cdot\frac{1}{2}e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}\,dx.
Fatorando a constante:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2}\int e^{2x}\,dx.
Agora usamos novamente \int e^{2x}\,dx = \tfrac{1}{2}e^{2x}:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{2x} + C.
Portanto
\int x e^{2x}\,dx = \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C.

Passo 6

Simplificação e forma alternativa. Podemos fatorar e^{2x} para deixar mais compacto:
\int x e^{2x}\,dx = \frac{e^{2x}}{4}\,(2x-1) + C.

Passo 7

Verificação (checagem rápida): derivando a primitiva encontrada deve-se obter o integrando.
Derivando \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{2} x e^{2x}\right) = \frac{1}{2}\big(e^{2x} + x\cdot 2 e^{2x}\big) = \frac{1}{2}e^{2x} + x e^{2x},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{4} e^{2x}\right) = -\frac{1}{4}\cdot 2 e^{2x} = -\frac{1}{2}e^{2x}.
Somando:
\left(\frac{1}{2}e^{2x} + x e^{2x}\right) + \left(-\frac{1}{2}e^{2x}\right) = x e^{2x},
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.

Passo 8

Dica final: memorize a forma geral
\int x e^{a x}\,dx = \frac{1}{a} x e^{a x} - \frac{1}{a^{2}} e^{a x} + C,
que se obtém pelo mesmo procedimento. Para a=2 recupera-se o resultado acima. Força aí — você já sabe o truque para quando aparecer esse tipo de integral na prova!

Resposta

\dfrac{1}{2}x e^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C

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