Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é o produto de
(polinômio de grau 1) por
(exponencial). O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 2
Escolha do método: quando temos um produto entre uma função polinomial (como
) e uma função exponencial (como
), o método mais direto é a técnica de integração por partes. Essa escolha vem do fato que derivar o polinômio simplifica (a derivada de
é
) e integrar a exponencial é simples também. Então vamos usar integração por partes.
Passo 3
Apresentando a fórmula e explicando cada termo. A fórmula de integração por partes é
Aqui:
-
é uma função escolhida para ser derivada (gera ); preferimos escolher algo que simplifique ao derivar. -
é a parte que será integrada para obter (isto é, ). -
é a diferencial de : se então . -
é uma primitiva de .
No nosso caso vamos escolher
de modo que
fique simples (no produto
, escolha natural é
).
Passo 4
Escolhendo
e
e calculando
e
.
Escolha:
Escolha:
Então:
e precisamos calcular
Regra útil: para qualquer constante
,
Usando
obtemos
Passo 5
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Fatorando a constante:
Agora usamos novamente
:
Portanto
Passo 6
Simplificação e forma alternativa. Podemos fatorar
para deixar mais compacto:
Passo 7
Verificação (checagem rápida): derivando a primitiva encontrada deve-se obter o integrando.
Derivando :
Derivando
Somando:
que é exatamente o integrando. A primitiva está correta.
Passo 8
Dica final: memorize a forma geral
que se obtém pelo mesmo procedimento. Para
recupera-se o resultado acima. Força aí — você já sabe o truque para quando aparecer esse tipo de integral na prova!