1. \int x^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .. (resp. \left.\quad-\frac{1}{4} x\left(4-x^{2}\right)^{3 / 2}+\frac{1}{2} x \sqrt{4-x^{2}}+2 \arcsin (x / 2)+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx
Usaremos o método de substituição trigonométrica: escolhemos x = 2\sin\theta para simplificar o radical.

Passo 2

Fazendo x = 2\sin\theta temos
dx = 2\cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{4 - x^{2}} = \sqrt{4 - 4\sin^{2}\theta} = 2\cos\theta
Logo o integrando fica
x^{2}\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = (2\sin\theta)^{2}\,(2\cos\theta)\,(2\cos\theta\,d\theta) =16\,\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Usamos a identidade
\sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta =\frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta)
então
16\int \sin^{2}\theta\,\cos^{2}\theta\,d\theta =16\int \frac{1}{4}\sin^{2}(2\theta)\,d\theta =4\int \sin^{2}(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Usamos \sin^{2}u=\frac{1-\cos(2u)}{2} com u=2\theta:
4\int \sin^{2}(2\theta)\,d\theta =4\int \frac{1-\cos(4\theta)}{2}\,d\theta =2\int \bigl(1-\cos(4\theta)\bigr)\,d\theta =2\theta - \tfrac{1}{2}\sin(4\theta) + C.

Passo 5

Voltando a x:
\theta = \arcsin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr), \quad \cos\theta = \frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}.
Além disso
\sin(4\theta) =4\sin\theta\cos\theta\bigl(\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta\bigr)
leva, após simplificação, ao termo em x que resulta em
-\frac{1}{4}\,x\,(4 - x^{2})^{3/2}+\frac{1}{2}\,x\sqrt{4 - x^{2}}.
Somando 2\theta=2\arcsin(x/2), obtemos a antiderivada completa.

Resposta

-\frac{1}{4}\,x\,(4 - x^{2})^{3/2} +\frac{1}{2}\,x\sqrt{4 - x^{2}} +2\arcsin\bigl(\tfrac{x}{2}\bigr) + C

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