\int_{0}^{1} \int_{\sqrt{y}}^{2-\sqrt{y}} x y d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1}\int_{\sqrt{y}}^{2-\sqrt{y}} x\,y \,dx\,dy,
ou seja, integrar primeiro em x de x=\sqrt{y} até x=2-\sqrt{y} e depois em y de 0 até 1. Vamos usar a regra de integração iterada: primeiro resolvemos a integral interna em x, tratando y como constante.

Passo 2

Calcular a integral interna
\int_{\sqrt{y}}^{2-\sqrt{y}} x\,y \,dx.
Como y é constante, temos
y\int_{\sqrt{y}}^{2-\sqrt{y}} x\,dx = y\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{x=\sqrt{y}}^{x=2-\sqrt{y}} = \frac{y}{2}\Bigl[(2-\sqrt{y})^2 - (\sqrt{y})^2\Bigr].
Expandindo,
(2-\sqrt{y})^2 = 4 -4\sqrt{y}+y,\quad (\sqrt{y})^2 = y,
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\frac{y}{2}\bigl[(4 -4\sqrt{y}+y) - y\bigr] = \frac{y}{2}(4 -4\sqrt{y}) = 2y -2y\sqrt{y} = 2y -2y^{3/2}.

Passo 3

Agora integramos esse resultado em y de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(2y -2y^{3/2}\bigr)\,dy =2\int_{0}^{1}y\,dy \;-\;2\int_{0}^{1}y^{3/2}\,dy.
Calculando cada parte:
\int_{0}^{1}y\,dy = \Bigl[\tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac12, \qquad \int_{0}^{1}y^{3/2}\,dy = \Bigl[\tfrac{y^{5/2}}{5/2}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{2}{5}.
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2\cdot\tfrac12 \;-\;2\cdot\tfrac{2}{5} =1 - \tfrac{4}{5} = \tfrac{1}{5}.

Resposta

O valor da integral é \tfrac{1}{5}.

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