1. Seja D a região no espaço x y z definida pelas desigualdades
1 \leq x \leq 2, \quad 0 \leq x y \leq 2, \quad 0 \leq z \leq 1 .
Calcule
\iiint_{D}\left(x^{2} y+3 x y z\right) d x d y d z
aplicando a transformação
u=x, \quad v=x y, \quad w=3 z

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral triplo da função \,x^{2}y+3xyz sobre a região
D=\{(x,y,z)\mid 1\le x\le2,\;0\le x y\le2,\;0\le z\le1\}
usando a transformação
u=x,\quad v=xy,\quad w=3z.
O conteúdo aqui é mudança de variáveis em integrais múltiplas, requerendo a determinação da região em (u,v,w), a expressão da função e o cálculo do jacobiano.

Passo 2

Expressamos a região D em termos de (u,v,w). Como
u=x\in[1,2],\quad v=xy\in[0,2],\quad w=3z,
e z\in[0,1] implica w\in[0,3], a nova região D' em (u,v,w) é
1\le u\le2,\quad 0\le v\le2,\quad 0\le w\le3.

Passo 3

Invertemos a transformação para obter (x,y,z) em função de (u,v,w):
x=u,\quad y=\frac{v}{u},\quad z=\frac{w}{3}.
O jacobiano é dado por
J=\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ -\tfrac{v}{u^2} & \tfrac1u & 0\\\\ 0 & 0 & \tfrac13 \end{pmatrix} =\frac{1}{3u}.
Portanto
dx\,dy\,dz=\frac{1}{3u}\,du\,dv\,dw.

Passo 4

Escrevemos o integrando em (u,v,w). Note que
x^2y = u\cdot v, \quad 3xyz =3\,(xy)\,z =3\,v\,\frac{w}{3}=v w.
Logo
x^2y+3xyz = u\,v + v\,w.
O integral original vira
\iiint_{D}(x^2y+3xyz)\,dx\,dy\,dz =\int_{u=1}^{2}\int_{v=0}^{2}\int_{w=0}^{3} \bigl(u v+v w\bigr)\frac{1}{3u}\,dw\,dv\,du.

Passo 5

Integramos em w:
\int_{0}^{3}\frac{u v+v w}{3u}\,dw =\int_{0}^{3}\Bigl(\frac{v}{3}+\frac{v\,w}{3u}\Bigr)dw =\frac{v}{3}\cdot3 +\frac{v}{3u}\cdot\frac{3^2}{2} =v+\frac{3v}{2u}.
Depois em v:
\int_{0}^{2}\Bigl(v+\frac{3v}{2u}\Bigr)dv =\Bigl[\frac{v^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} +\frac{3}{2u}\Bigl[\frac{v^2}{2}\Bigr]_{0}^{2} =2+\frac{3}{u}.
Por fim em u:
\int_{1}^{2}\Bigl(2+\frac{3}{u}\Bigr)du =\bigl[2u+3\ln u\bigr]_{1}^{2} =(4+3\ln2)-(2+0) =2+3\ln2.

Resposta

2+3\ln2

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