\int_{-2}^{2}(3 u+1)^{2} d u

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos é dado:
  • Calcular a integral definida \displaystyle \int_{-2}^{2}(3u+1)^{2}\,du.
  • Os dados são: integrando (3u+1)^{2} e limites inferiores e superiores u=-2 e u=2.

Passo 2

Plano de resolução (sem fazer ainda): expandir o quadrado para transformar o integrando em soma de potências de u e usar a linearidade da integral e a regra de potência para integrar termo a termo. Vou também apresentar um método alternativo por substituição para você ver outra forma de pensar e checar o resultado.
Antes de começar, lembretes rápidos (fórmulas que vamos usar):
  • Linearidade: \displaystyle \int (f(u)+g(u))\,du = \int f(u)\,du + \int g(u)\,du e \displaystyle \int a\,f(u)\,du = a\int f(u)\,du para constante a.
  • Regra de potência: \displaystyle \int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. Aqui u é a variável de integração e n é um número.

Passo 3

Expandir o integrando usando a identidade do quadrado de uma soma:
(3u+1)^{2} = (3u)^{2} + 2\cdot(3u)\cdot 1 + 1^{2} = 9u^{2} + 6u + 1.

Passo 4

Aplicar linearidade e integrar termo a termo:
\int (9u^{2}+6u+1)\,du = \int 9u^{2}\,du + \int 6u\,du + \int 1\,du.
Usando a regra de potência:
\int 9u^{2}\,du = 9\cdot\frac{u^{3}}{3}=3u^{3},
\int 6u\,du = 6\cdot\frac{u^{2}}{2}=3u^{2},
\int 1\,du = u.
Portanto uma primitiva é
F(u)=3u^{3}+3u^{2}+u.

Passo 5

Avaliar a primitiva nos limites u=2 e u=-2 e subtrair:
Calcular F(2):
F(2)=3\cdot 2^{3}+3\cdot 2^{2}+2=3\cdot 8 + 3\cdot 4 + 2 = 24 + 12 + 2 = 38.
Calcular F(-2):
F(-2)=3\cdot (-2)^{3}+3\cdot (-2)^{2}+(-2)=3\cdot(-8)+3\cdot4-2 = -24 + 12 - 2 = -14.
Subtraindo:
\int_{-2}^{2}(3u+1)^{2}\,du = F(2)-F(-2) = 38 - (-14) = 52.

Passo 6

Verificação alternativa por substituição (checado rapidamente para garantir que não houve erro):
Fazer t=3u+1. Então dt=3\,du e du=\dfrac{dt}{3}.
Mudar os limites: para u=-2 tem t=-5; para u=2 tem t=7.
A integral vira
\int_{-2}^{2}(3u+1)^{2}\,du = \int_{t=-5}^{t=7} t^{2}\cdot\frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int_{-5}^{7} t^{2}\,dt.
Integrando:
\frac{1}{3}\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{-5}^{7} = \frac{1}{9}\big(7^{3}-(-5)^{3}\big)=\frac{1}{9}\big(343-(-125)\big)=\frac{468}{9}=52.
Confere com o resultado anterior.

Passo 7

Resultado final obtido e checado por dois métodos: a integral vale 52. Boa! Respira, foi tranquilo — repetir esse tipo de conta na prova: expande, integra termo a termo, avalia nos limites. Se der preguiça, substituição também salva.

Resposta

52

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