\int_{-2}^{2}(3 u+1)^{2} d u
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos é dado:
- Calcular a integral definida
. - Os dados são: integrando
e limites inferiores e superiores e .
Passo 2
Plano de resolução (sem fazer ainda): expandir o quadrado para transformar o integrando em soma de potências de
e usar a linearidade da integral e a regra de potência para integrar termo a termo. Vou também apresentar um método alternativo por substituição para você ver outra forma de pensar e checar o resultado.
Antes de começar, lembretes rápidos (fórmulas que vamos usar):
- Linearidade:
e para constante . - Regra de potência:
para . Aqui é a variável de integração e é um número.
Passo 3
Expandir o integrando usando a identidade do quadrado de uma soma:
Passo 4
Aplicar linearidade e integrar termo a termo:
Usando a regra de potência:
Portanto uma primitiva é
Passo 5
Avaliar a primitiva nos limites
e
e subtrair:
Calcular :
Calcular
Calcular
:
Subtraindo:
Passo 6
Verificação alternativa por substituição (checado rapidamente para garantir que não houve erro):
Fazer . Então
e
.
Mudar os limites: para tem
; para
tem
.
A integral vira
Fazer
Mudar os limites: para
A integral vira
Integrando:
Confere com o resultado anterior.
Passo 7
Resultado final obtido e checado por dois métodos: a integral vale
. Boa! Respira, foi tranquilo — repetir esse tipo de conta na prova: expande, integra termo a termo, avalia nos limites. Se der preguiça, substituição também salva.