\int_{1}^{4} \sqrt{t}(1+t) d t

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede o valor da integral definida \displaystyle \int_{1}^{4} \sqrt{t}\,(1+t)\,dt.
  • Informações fornecidas:
    • A variável de integração é t.
    • O intervalo de integração é de t=1 até t=4.
    • A função a integrar é \sqrt{t}\,(1+t).

Passo 2

Entender e simplificar a integranda para facilitar a integração.
  • Recorde: \sqrt{t} é a mesma coisa que t^{1/2}. Assim,
\sqrt{t}\,(1+t)=t^{1/2}(1+t).
  • Podemos distribuir para escrever como soma de potências de t:
t^{1/2}(1+t)=t^{1/2}+t^{1/2}\cdot t = t^{1/2}+t^{3/2}.

Passo 3

Explicação do método de integração que vou usar (regra do poder).
  • Regra do poder para antiderivadas: para qualquer real n com n\neq -1,
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração.
  • Aqui vamos aplicar essa regra termo a termo às potências t^{1/2} e t^{3/2}. Essas potências têm expoentes n=\tfrac{1}{2} e n=\tfrac{3}{2}, ambos diferentes de -1, então a regra vale.

Passo 4

Calcular a antiderivada (primitiva) da integranda.
  • Para o termo t^{1/2} com n=\tfrac{1}{2},
\int t^{1/2}\,dt = \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{t^{3/2}}{3/2}.
  • Para o termo t^{3/2} com n=\tfrac{3}{2},
\int t^{3/2}\,dt = \frac{t^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{t^{5/2}}{5/2}.
  • Juntando os dois termos, uma antiderivada é
F(t)=\frac{t^{3/2}}{3/2}+\frac{t^{5/2}}{5/2}.
  • Simplificando as frações (dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso):
\frac{t^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}t^{3/2},\qquad \frac{t^{5/2}}{5/2}=\frac{2}{5}t^{5/2}.
  • Assim
F(t)=\frac{2}{3}t^{3/2}+\frac{2}{5}t^{5/2}.

Passo 5

Avaliar a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo.
  • Pelo teorema fundamental do cálculo,
\int_{1}^{4} \sqrt{t}\,(1+t)\,dt = F(4)-F(1),
onde F(t) é a antiderivada encontrada acima.

Passo 6

Calcular F(4) e F(1) explicitamente.
  • Primeiro calcular as potências:
    • Para t=4: \,4^{1/2}=\sqrt{4}=2. Então 4^{3/2}=(4^{1/2})^{3}=2^{3}=8,\qquad 4^{5/2}=(4^{1/2})^{5}=2^{5}=32.
    • Para t=1: 1^{3/2}=1 e 1^{5/2}=1.
  • Agora substituir em F(t): F(4)=\frac{2}{3}\cdot 8 + \frac{2}{5}\cdot 32, \qquad F(1)=\frac{2}{3}\cdot 1 + \frac{2}{5}\cdot 1.
  • Calcular cada termo: \frac{2}{3}\cdot 8 = \frac{16}{3},\qquad \frac{2}{5}\cdot 32 = \frac{64}{5}.
\frac{2}{3}\cdot 1 = \frac{2}{3},\qquad \frac{2}{5}\cdot 1 = \frac{2}{5}.

Passo 7

Fazer a subtração e simplificar a fração resultante.
  • Somando os termos de F(4): F(4)=\frac{16}{3}+\frac{64}{5}.Colocar em denominador comum 15: \frac{16}{3}=\frac{80}{15},\qquad \frac{64}{5}=\frac{192}{15},então F(4)=\frac{80}{15}+\frac{192}{15}=\frac{272}{15}.
  • Somando os termos de F(1): F(1)=\frac{2}{3}+\frac{2}{5}=\frac{10}{15}+\frac{6}{15}=\frac{16}{15}.
  • Subtraindo: F(4)-F(1)=\frac{272}{15}-\frac{16}{15}=\frac{256}{15}.

Resposta

\dfrac{256}{15}

Exercícios relacionados