\int_{1}^{4} \sqrt{t}(1+t) d t
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede o valor da integral definida
. - Informações fornecidas:
- A variável de integração é
. - O intervalo de integração é de
até . - A função a integrar é
.
- A variável de integração é
Passo 2
Entender e simplificar a integranda para facilitar a integração.
- Recorde:
é a mesma coisa que . Assim,
- Podemos distribuir para escrever como soma de potências de
:
Passo 3
Explicação do método de integração que vou usar (regra do poder).
- Regra do poder para antiderivadas: para qualquer real
com ,
onde
é a constante de integração.
- Aqui vamos aplicar essa regra termo a termo às potências
e . Essas potências têm expoentes e , ambos diferentes de , então a regra vale.
Passo 4
Calcular a antiderivada (primitiva) da integranda.
- Para o termo
com ,
- Para o termo
com ,
- Juntando os dois termos, uma antiderivada é
- Simplificando as frações (dividir por uma fração é multiplicar pelo inverso):
- Assim
Passo 5
Avaliar a integral definida usando o teorema fundamental do cálculo.
- Pelo teorema fundamental do cálculo,
onde
é a antiderivada encontrada acima.
Passo 6
Calcular
e
explicitamente.
- Primeiro calcular as potências:
- Para
: . Então - Para
: e .
- Para
- Agora substituir em
: - Calcular cada termo:
Passo 7
Fazer a subtração e simplificar a fração resultante.
- Somando os termos de
: Colocar em denominador comum : então - Somando os termos de
: - Subtraindo: