Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Mais precisamente, queremos avaliar a integral
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A integranda é o produto de uma potência com base
cujo expoente é o polinômio , e do fator . - O objetivo é encontrar uma função
tal que .
Passo 2
Observação-chave (motivação da substituição): quando vemos uma função composta como
e multiplicada por uma expressão que parece ser relacionada à derivada desse “algo”, faz sentido tentar a substituição dessa expressão interna como nova variável. Aqui o “algo” é
. Então vamos definir
A ideia da substituição é trocar a variável
por
para tornar a integral mais simples.
Passo 3
Calcule
em função de
. Diferenciando
em relação a
(regra da derivada de um polinômio):
Escrevendo isso em forma diferencial:
Dessa relação isolamos
, que aparece na integral:
Aqui usamos implicitamente a regra da cadeia: ao derivar
multiplicamos pela derivada de
.
Passo 4
Troca completa na integral usando a substituição
e
. A integral original torna-se
Passo 5
Fator comum: podemos tirar a constante
para fora da integral:
Agora precisamos integrar
. Lembrete importante (fórmula usada): para qualquer base positiva
,
Explicação rápida de por que isso vale: a derivada de
é
. Então uma primitiva de
é
, porque ao derivar
volta-se a
.
Passo 6
Aplicando a fórmula com
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora da integral:
Finalmente, voltamos à variável original substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (derivando a resposta para checar): seja
Usando regra da cadeia e que
,
Cancelando
e simplificando
obtemos
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.