\int 3^{x^{2}+4 x+3}(x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função dada. Mais precisamente, queremos avaliar a integral
\int 3^{x^{2}+4x+3}(x+2)\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A integranda é o produto de uma potência com base 3 cujo expoente é o polinômio x^{2}+4x+3, e do fator (x+2).
  • O objetivo é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=3^{x^{2}+4x+3}(x+2).

Passo 2

Observação-chave (motivação da substituição): quando vemos uma função composta como 3^{\text{(algo)}} e multiplicada por uma expressão que parece ser relacionada à derivada desse “algo”, faz sentido tentar a substituição dessa expressão interna como nova variável. Aqui o “algo” é x^{2}+4x+3. Então vamos definir
u = x^{2}+4x+3.
A ideia da substituição é trocar a variável x por u para tornar a integral mais simples.

Passo 3

Calcule du em função de dx. Diferenciando u em relação a x (regra da derivada de um polinômio):
\frac{du}{dx} = 2x+4.
Escrevendo isso em forma diferencial:
du = (2x+4)\,dx = 2(x+2)\,dx.
Dessa relação isolamos (x+2)\,dx, que aparece na integral:
(x+2)\,dx = \frac{du}{2}.
Aqui usamos implicitamente a regra da cadeia: ao derivar u(x) multiplicamos pela derivada de x.

Passo 4

Troca completa na integral usando a substituição u=x^{2}+4x+3 e (x+2)\,dx = \dfrac{du}{2}. A integral original torna-se
\int 3^{x^{2}+4x+3}(x+2)\,dx = \int 3^{u}\,\frac{du}{2}.

Passo 5

Fator comum: podemos tirar a constante \dfrac{1}{2} para fora da integral:
\int 3^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int 3^{u}\,du.
Agora precisamos integrar \int 3^{u}\,du. Lembrete importante (fórmula usada): para qualquer base positiva a\neq 1,
\int a^{u}\,du = \frac{a^{u}}{\ln a} + C.
Explicação rápida de por que isso vale: a derivada de a^{u} é a^{u}\ln a. Então uma primitiva de a^{u} é a^{u}/\ln a, porque ao derivar \dfrac{a^{u}}{\ln a} volta-se a a^{u}.

Passo 6

Aplicando a fórmula com a=3:
\int 3^{u}\,du = \frac{3^{u}}{\ln 3} + C.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{2} que estava fora da integral:
\frac{1}{2}\int 3^{u}\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{3^{u}}{\ln 3} + C = \frac{3^{u}}{2\ln 3} + C.
Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = x^{2}+4x+3:
\frac{3^{x^{2}+4x+3}}{2\ln 3} + C.

Passo 7

Verificação rápida (derivando a resposta para checar): seja
F(x)=\frac{3^{x^{2}+4x+3}}{2\ln 3}.
Usando regra da cadeia e que \dfrac{d}{dx}3^{g(x)}=3^{g(x)}\ln 3\cdot g'(x),
F'(x)=\frac{1}{2\ln 3}\cdot 3^{x^{2}+4x+3}\ln 3\cdot (2x+4).
Cancelando \ln 3 e simplificando (2x+4)/2 obtemos
F'(x)=3^{x^{2}+4x+3}(x+2),
que é exatamente a integranda. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\frac{3^{x^{2}+4x+3}}{2\ln 3}+C

Exercícios relacionados