Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Dados fornecidos: a função integranda é (base
, expoente
). Não há limites de integração, portanto queremos encontrar uma antiderivada mais constante de integração.
Dados fornecidos: a função integranda é
Passo 2
Vamos lembrar um fato essencial sobre exponenciais de base arbitrária: a função
pode ser escrita usando a exponencial natural como
. Aqui
é o logaritmo natural de
. Usando isso e a regra da cadeia para derivação, obtemos a fórmula
Explicando devagar: escrevemos
. A derivada de
em relação a
é
. Aplicando com
temos
, então a derivada é
. Isso é importante porque a integral é a operação inversa da derivada.
Passo 3
Para facilitar a integral vamos fazer uma substituição simples. Seja
. Então
, isto é
. Substituindo na integral:
Passo 4
Agora precisamos achar
. Pelo que vimos no Passo 2, a derivada de
é
. Então uma antiderivada de
é
, porque
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltando à expressão com o fator
do Passo 3, obtemos
Agora substituímos
de volta:
Passo 6
Verificação rápida (útil pra prova): diferencie o resultado para checar se volta ao integrando. Temos
e usando a regra do Passo 2 com cadeia,
Logo
que confirma que a antiderivada está correta.
Passo 7
Fórmula geral e exemplos para você decorar e aplicar na prova: para
,
, e
constante,
Explicando as variáveis:
é a base da exponencial,
é a constante multiplicando
no expoente, e
é o logaritmo natural de
. Exemplos: