\int 2^{5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int 2^{5x}\,dx.
Dados fornecidos: a função integranda é 2^{5x} (base 2, expoente 5x). Não há limites de integração, portanto queremos encontrar uma antiderivada mais constante de integração.

Passo 2

Vamos lembrar um fato essencial sobre exponenciais de base arbitrária: a função a^{t} pode ser escrita usando a exponencial natural como \;a^{t}=e^{t\ln a}\;. Aqui \ln a é o logaritmo natural de a. Usando isso e a regra da cadeia para derivação, obtemos a fórmula
\frac{d}{dt}\big(a^{t}\big)=a^{t}\ln a.
Explicando devagar: escrevemos a^{t}=e^{t\ln a}. A derivada de e^{u(t)} em relação a t é e^{u(t)}\cdot u'(t). Aplicando com u(t)=t\ln a temos u'(t)=\ln a, então a derivada é e^{t\ln a}\cdot\ln a=a^{t}\ln a. Isso é importante porque a integral é a operação inversa da derivada.

Passo 3

Para facilitar a integral vamos fazer uma substituição simples. Seja \;u=5x\;. Então \;du=5\,dx\;, isto é \;dx=\dfrac{du}{5}\;. Substituindo na integral:
\int 2^{5x}\,dx = \int 2^{u}\cdot \frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int 2^{u}\,du.

Passo 4

Agora precisamos achar \int 2^{u}\,du. Pelo que vimos no Passo 2, a derivada de 2^{u} é 2^{u}\ln 2. Então uma antiderivada de 2^{u} é \dfrac{2^{u}}{\ln 2}, porque
\frac{d}{du}\!\left(\frac{2^{u}}{\ln 2}\right)=\frac{2^{u}\ln 2}{\ln 2}=2^{u}.
Portanto
\int 2^{u}\,du=\frac{2^{u}}{\ln 2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à expressão com o fator \dfrac{1}{5} do Passo 3, obtemos
\frac{1}{5}\int 2^{u}\,du = \frac{1}{5}\left(\frac{2^{u}}{\ln 2}\right)+C = \frac{2^{u}}{5\ln 2}+C.
Agora substituímos u=5x de volta:
\int 2^{5x}\,dx = \frac{2^{5x}}{5\ln 2}+C.

Passo 6

Verificação rápida (útil pra prova): diferencie o resultado para checar se volta ao integrando. Temos
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2^{5x}}{5\ln 2}\right)=\frac{1}{5\ln 2}\cdot \frac{d}{dx}\big(2^{5x}\big)
e usando a regra do Passo 2 com cadeia,
\frac{d}{dx}\big(2^{5x}\big)=2^{5x}\cdot \ln 2 \cdot 5.
Logo
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2^{5x}}{5\ln 2}\right)=\frac{1}{5\ln 2}\cdot 2^{5x}\cdot 5\ln 2 = 2^{5x},
que confirma que a antiderivada está correta.

Passo 7

Fórmula geral e exemplos para você decorar e aplicar na prova: para a>0, a\neq 1, e k constante,
\int a^{kx}\,dx = \frac{a^{kx}}{k\ln a}+C.
Explicando as variáveis: a é a base da exponencial, k é a constante multiplicando x no expoente, e \ln a é o logaritmo natural de a. Exemplos:
\int 3^{2x}\,dx=\frac{3^{2x}}{2\ln 3}+C,
\int e^{3x}\,dx=\frac{e^{3x}}{3}+C\quad\text{(porque \(\ln e=1\)).}

Resposta

\displaystyle \frac{2^{5x}}{5\ln 2}+C

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