\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • A função integranda é x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}.
  • A raiz quadrada \sqrt{4-x^{2}} exige 4-x^{2}\ge 0, ou seja x\in[-2,2] para a função ser real. A integral indefinida retorna uma família de primitivas válidas em intervalos onde a expressão é bem definida.
  • O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) desta função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Idéia de resolução (sem desenvolver ainda): esta integral tem a forma clássica que aparece com substituição trigonométrica. Uma forma eficiente é usar a substituição
x = 2\sin\theta,
porque então aparece 4-x^{2}=4(1-\sin^{2}\theta)=4\cos^{2}\theta, o que simplifica a raiz. Vou aplicar essa substituição passo a passo.

Passo 3

Fazer a substituição x=2\sin\theta. Primeiro calculo dx e a raiz:
x=2\sin\theta \quad\Rightarrow\quad dx = 2\cos\theta\,d\theta.
E
\sqrt{4-x^{2}}=\sqrt{4-4\sin^{2}\theta}=\sqrt{4\cos^{2}\theta}=2|\cos\theta|.
Para obter uma primitiva contínua usamos a escolha principal onde \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], nesse intervalo \cos\theta\ge0 e então |\cos\theta|=\cos\theta. Assim, dentro desse intervalo:
\sqrt{4-x^{2}}=2\cos\theta.

Passo 4

Substituir na integral:
\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}} = \int \frac{2\cos\theta\,d\theta}{2\cos\theta} = \int d\theta.
A integral de 1 em relação a \theta é simplesmente \theta. Portanto obtemos
\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\theta + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar para a variável x. Da substituição x=2\sin\theta temos
\sin\theta=\frac{x}{2},
e, para o ramo escolhido \theta\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], a inversa é
\theta=\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right).
Substituindo:
\int \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}=\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (para me deixar mais confiante e para você poder usar na prova): derivar a resposta deve retornar a integranda. Seja F(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right). Pela regra da cadeia e pela fórmula \dfrac{d}{du}\arcsin(u)=\dfrac{1}{\sqrt{1-u^{2}}},
F'(x)=\frac{d}{dx}\arcsin\!\left(\frac{x}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right) =\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{4}}}\cdot\frac{1}{2}.
Simplificando a raiz:
\sqrt{1-\dfrac{x^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{2},
então
F'(x)=\frac{1}{\dfrac{\sqrt{4-x^{2}}}{2}}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}},
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.

Passo 7

Observações finais úteis para a prova:
  • A primitiva pode ser escrita como \arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C. Outra forma equivalente (até constante) é \displaystyle -\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C, pois \arcsin u + \operatorname{arccos} u=\tfrac{\pi}{2} é constante.
  • Lembre-se de restringir o domínio onde a primitiva é válida (a função integranda é real para x\in[-2,2]).
  • Se vir no exame uma integral do tipo \int \dfrac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}, a resposta padrão é \arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)+C. Boa dica para decorar e aplicar rápido.

Resposta

\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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