Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
Informações fornecidas pelo enunciado:
- A função integranda é
. - A raiz quadrada
exige , ou seja para a função ser real. A integral indefinida retorna uma família de primitivas válidas em intervalos onde a expressão é bem definida. - O objetivo é encontrar uma antiderivada (primitiva) desta função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Idéia de resolução (sem desenvolver ainda): esta integral tem a forma clássica que aparece com substituição trigonométrica. Uma forma eficiente é usar a substituição
porque então aparece
, o que simplifica a raiz. Vou aplicar essa substituição passo a passo.
Passo 3
Fazer a substituição
. Primeiro calculo
e a raiz:
E
Para obter uma primitiva contínua usamos a escolha principal onde
, nesse intervalo
e então
. Assim, dentro desse intervalo:
Passo 4
Substituir na integral:
A integral de
em relação a
é simplesmente
. Portanto obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar para a variável
. Da substituição
temos
e, para o ramo escolhido
, a inversa é
Substituindo:
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (para me deixar mais confiante e para você poder usar na prova): derivar a resposta deve retornar a integranda. Seja
. Pela regra da cadeia e pela fórmula
,
Simplificando a raiz:
então
que é exatamente a integranda. Verificação concluída.
Passo 7
Observações finais úteis para a prova:
- A primitiva pode ser escrita como
. Outra forma equivalente (até constante) é , pois é constante. - Lembre-se de restringir o domínio onde a primitiva é válida (a função integranda é real para
). - Se vir no exame uma integral do tipo
, a resposta padrão é . Boa dica para decorar e aplicar rápido.