\int e^{x} \operatorname{cotg}\left(e^{x}\right) d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\,\operatorname{cotg}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais: a variável de integração é x; o integrando é o produto de e^{x} por \operatorname{cotg}\bigl(e^{x}\bigr) (ou seja, a cotangente de e^{x}). Queremos uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração C.
Passo 2
Identificar uma substituição adequada (u-substituição). Aqui há uma expressão interna \,e^{x}\, dentro da função trigonométrica \operatorname{cotg}(\cdot). Uma estratégia padrão é colocar essa expressão interna como nova variável:
u = e^{x}
Agora derivamos em relação a x para relacionar dx com du: