\int e^{x} \operatorname{cotg}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\,\operatorname{cotg}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
Informações dadas e observações iniciais: a variável de integração é x; o integrando é o produto de e^{x} por \operatorname{cotg}\bigl(e^{x}\bigr) (ou seja, a cotangente de e^{x}). Queremos uma primitiva (função cuja derivada é o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Identificar uma substituição adequada (u-substituição). Aqui há uma expressão interna \,e^{x}\, dentro da função trigonométrica \operatorname{cotg}(\cdot). Uma estratégia padrão é colocar essa expressão interna como nova variável:
u = e^{x}
Agora derivamos em relação a x para relacionar dx com du:
\frac{du}{dx}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad du=e^{x}\,dx.
Portanto o diferencial e^{x}\,dx que aparece no integrando é exatamente du. Isso permite reescrever a integral em u.

Passo 3

Reescrever a integral em termos de u. Substituindo \,u=e^{x} e du=e^{x}\,dx temos:
\int e^{x}\,\operatorname{cotg}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx=\int \operatorname{cotg}(u)\,du.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int \operatorname{cotg}(u)\,du. Primeiro lembrar que \operatorname{cotg}(u)=\dfrac{\cos u}{\sin u}. Então
\int \operatorname{cotg}(u)\,du=\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du.
Fazemos uma nova substituição simples dentro desta integral: seja t=\sin u. Então dt=\cos u\,du. Assim a integral fica
\int \frac{\cos u}{\sin u}\,du=\int \frac{dt}{t}=\ln\bigl|t\bigr|+C.
Voltando a u, obtemos
\int \operatorname{cotg}(u)\,du=\ln\bigl|\sin u\bigr|+C.
Obs.: o valor absoluto aparece porque \int \frac{1}{t}\,dt=\ln|t|+C.

Passo 5

Voltar à variável original x. Substituindo u=e^{x} na primitiva encontrada:
\int e^{x}\,\operatorname{cotg}\!\bigl(e^{x}\bigr)\,dx=\ln\bigl|\sin\bigl(e^{x}\bigr)\bigr|+C.

Passo 6

Verificação rápida (derivação para conferir). Derivando \ln\bigl|\sin(e^{x})\bigr| obtemos
\frac{d}{dx}\ln\bigl|\sin(e^{x})\bigr|=\frac{1}{\sin(e^{x})}\cdot\cos(e^{x})\cdot e^{x}=e^{x}\,\operatorname{cotg}\!\bigl(e^{x}\bigr),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\ln\bigl|\sin\bigl(e^{x}\bigr)\bigr|+C

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