\int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{3}} e^{y / x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x^{3}}e^{y/x}\,dy\,dx
O conteúdo é integrais duplas em ordem iterada; vamos primeiro integrar em y e depois em x.

Passo 2

Para a integral interna em y, note que
\frac{d}{dy}\bigl(xe^{y/x}\bigr)=e^{y/x}
pois x é constante em relação a y. Logo,
\int_{0}^{x^{3}}e^{y/x}\,dy =xe^{y/x}\Big|_{y=0}^{y=x^{3}} =x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr).

Passo 3

Substituindo na integral externa, temos
\int_{0}^{1}x\bigl(e^{x^{2}}-1\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx -\int_{0}^{1}x\,dx.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx, use u=x^{2}, du=2x\,dx:
\int_{0}^{1}x e^{x^{2}}\,dx =\frac12e^{x^{2}}\Big|_{0}^{1} =\frac{1}{2}(e-1).
E
\int_{0}^{1}x\,dx=\frac{x^{2}}{2}\Big|_{0}^{1}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Subtraindo os resultados:
\frac{1}{2}(e-1)-\frac{1}{2} =\frac{e-1-1}{2} =\frac{e-2}{2}.

Resposta

\frac{e-2}{2}

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