\int 2 x\left(x^{2}+1\right)^{4} \mathrm{dx}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int 2x\,(x^{2}+1)^{4}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, usando a inversa da regra da cadeia.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^{2} + 1,
pois derivando temos
du = 2x\,dx,
e esse 2x\,dx está exatamente no nosso integrando.

Passo 3

Fazendo a troca de variáveis, o integral vira
\int 2x\,(x^{2}+1)^{4}\,dx = \int u^{4}\,du.

Passo 4

Agora integramos em u:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5} + C.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = x^{2}+1:
\frac{u^{5}}{5} + C = \frac{(x^{2}+1)^{5}}{5} + C.

Resposta

\frac{(x^{2}+1)^{5}}{5} + C.

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