(9) As integrais de Fresnel são as integrais impróprias
\int_{0}^{\infty} \sin \left(t^{2}\right) d t \quad \text { e } \quad \int_{0}^{\infty} \cos \left(t^{2}\right) d t
que ocorrem em problemas de difração óptica. Verifique a convergência de uma destas integrais:
(a) ( 10 pontos) Integrando por partes e aplicando o teste da comparação na integral resultante.
(Dica: separe a integral em [0,1] e [1, \infty), no segundo intervalo integre por partes \sin t^{2}= \frac{t \sin t^{2}}{t}. Possivelmente a integral resultante não estará exatamente no formato para aplicar o teste da comparação, soma e subtraia algo dentro desta integral para resolver isso.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência de
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
Usaremos separação do intervalo em [0,1] e [1,\infty); em [1,\infty) faremos integração por partes e depois aplicaremos o teste da comparação.
Passo 2
Em [0,1] a função \sin(t^{2}) é contínua (logo limitada), então
\int_{0}^{1}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
é uma integral própria de função contínua em intervalo compacto e, portanto, convergente.