(9) As integrais de Fresnel são as integrais impróprias
\int_{0}^{\infty} \sin \left(t^{2}\right) d t \quad \text { e } \quad \int_{0}^{\infty} \cos \left(t^{2}\right) d t
que ocorrem em problemas de difração óptica. Verifique a convergência de uma destas integrais:
(a) ( 10 pontos) Integrando por partes e aplicando o teste da comparação na integral resultante.
(Dica: separe a integral em [0,1] e [1, \infty), no segundo intervalo integre por partes \sin t^{2}= \frac{t \sin t^{2}}{t}. Possivelmente a integral resultante não estará exatamente no formato para aplicar o teste da comparação, soma e subtraia algo dentro desta integral para resolver isso.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência de
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
Usaremos separação do intervalo em [0,1] e [1,\infty); em [1,\infty) faremos integração por partes e depois aplicaremos o teste da comparação.

Passo 2

Em [0,1] a função \sin(t^{2}) é contínua (logo limitada), então
\int_{0}^{1}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
é uma integral própria de função contínua em intervalo compacto e, portanto, convergente.

Passo 3

Para o trecho [1,\infty), considere
\int_{1}^{R}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = \int_{1}^{R}\frac{1}{t}\,\bigl[t\,\sin(t^{2})\bigr]\,dt.
Fazendo integração por partes, tome
u = \frac{1}{t}, \quad dv = t\,\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
Então
du = -\frac{1}{t^{2}}\,dt, \quad v = \int t\,\sin(t^{2})\,dt = -\frac{\cos\bigl(t^{2}\bigr)}{2}.

Passo 4

Pela fórmula de partes,
\int_{1}^{R}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = \left.u\,v\right|_{1}^{R} -\int_{1}^{R}v\,du = \Bigl[-\frac{\cos(t^{2})}{2t}\Bigr]_{1}^{R} -\int_{1}^{R}\Bigl(-\frac{\cos(t^{2})}{2}\Bigr)\Bigl(-\frac{1}{t^{2}}\Bigr)\,dt.
Simplificando,
\int_{1}^{R}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt = -\frac{\cos(R^{2})}{2R} +\frac{\cos(1)}{2} -\frac{1}{2}\int_{1}^{R}\frac{\cos(t^{2})}{t^{2}}\,dt.

Passo 5

  1. O termo de fronteira satisfaz
\lim_{R\to\infty}\frac{\cos(R^{2})}{2R}=0.
  1. Para o integral restante, note que
\Bigl|\frac{\cos(t^{2})}{t^{2}}\Bigr|\le\frac{1}{t^{2}},
e \int_{1}^{\infty}t^{-2}\,dt converge (é igual a 1). Logo
\int_{1}^{\infty}\frac{\cos(t^{2})}{t^{2}}\,dt
converge absolutamente.

Passo 6

Como o termo de fronteira tende a constante e o integral por comparação converge, concluímos que
\int_{1}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
converge. Juntando com o resultado de [0,1], a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
é convergente.

Resposta

A integral \displaystyle \int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt converge.

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