(9) As integrais de Fresnel são as integrais impróprias
que ocorrem em problemas de difração óptica. Verifique a convergência de uma destas integrais:
(b) ( 5 pontos) Pelo teste de Dirichlet, fazendo alguma substituição.
(b) ( 5 pontos) Pelo teste de Dirichlet, fazendo alguma substituição.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência, pelo teste de Dirichlet, de uma das integrais de Fresnel, por exemplo
O conteúdo usado será o teste de Dirichlet para integrais impróprias e uma substituição para deixar a parte oscilante de fácil manipulação.
Passo 2
Separamos o estudo em duas regiões: de
a
e de
ao infinito. Em
a função
é contínua, logo
é convergente (é uma integral de função contínua em intervalo finito).
Passo 3
Para
, fazemos a substituição
Os limites em
vão de
a
, e em
de
a
. Assim
onde
.
Passo 4
Aplicamos o teste de Dirichlet para integrais impróprias: se
é limitada e
é monotonicamente decrescente em
com
, então
converge.
- A primitiva de
é , logo
que é limitada para todo
.
2. é positiva, monotonicamente decrescente em
e tende a
quando
.
2.
Passo 5
Pelos itens acima, o teste de Dirichlet garante que
converge. Juntando com a convergência em
, concluímos que
é convergente.
Resposta
A integral de Fresnel
converge (não absolutamente) pelo teste de Dirichlet após a substituição
.