(9) As integrais de Fresnel são as integrais impróprias
\int_{0}^{\infty} \sin \left(t^{2}\right) d t \quad \text { e } \quad \int_{0}^{\infty} \cos \left(t^{2}\right) d t
que ocorrem em problemas de difração óptica. Verifique a convergência de uma destas integrais:
(b) ( 5 pontos) Pelo teste de Dirichlet, fazendo alguma substituição.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência, pelo teste de Dirichlet, de uma das integrais de Fresnel, por exemplo
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo usado será o teste de Dirichlet para integrais impróprias e uma substituição para deixar a parte oscilante de fácil manipulação.

Passo 2

Separamos o estudo em duas regiões: de 0 a 1 e de 1 ao infinito. Em \bigl[0,1\bigr] a função t\mapsto \sin(t^{2}) é contínua, logo
\int_{0}^{1}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
é convergente (é uma integral de função contínua em intervalo finito).

Passo 3

Para \displaystyle\int_{1}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt, fazemos a substituição
u = t^{2},\quad du = 2t\,dt\quad\Longrightarrow\quad dt = \frac{du}{2\sqrt{u}}.
Os limites em t vão de 1 a \infty, e em u de 1 a \infty. Assim
\int_{1}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt =\int_{1}^{\infty}\sin(u)\,\frac{du}{2\sqrt{u}} =\int_{1}^{\infty}f(u)\,\sin(u)\,du,
onde f(u)=\tfrac{1}{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Aplicamos o teste de Dirichlet para integrais impróprias: se F(U)=\int_{1}^{U}\sin(u)\,du é limitada e f(u) é monotonicamente decrescente em [1,\infty) com \lim_{u\to\infty}f(u)=0, então \int_{1}^{\infty}f(u)\sin(u)\,du converge.
  1. A primitiva de \sin(u) é -\cos(u), logo
F(U)=\int_{1}^{U}\sin(u)\,du =-\cos(U)+\cos(1),
que é limitada para todo U.
2. f(u)=\tfrac{1}{2\sqrt{u}} é positiva, monotonicamente decrescente em [1,\infty) e tende a 0 quando u\to\infty.

Passo 5

Pelos itens acima, o teste de Dirichlet garante que
\int_{1}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
converge. Juntando com a convergência em [0,1], concluímos que
\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
é convergente.

Resposta

A integral de Fresnel \displaystyle\int_{0}^{\infty}\sin\bigl(t^{2}\bigr)\,dt converge (não absolutamente) pelo teste de Dirichlet após a substituição u=t^{2}.

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