Passo 1
Então, galera! A gente tem um exercício que nos dá duas fórmulas para integrar potências de cosseno e seno. O objetivo é entender como chegamos nessas fórmulas. Vamos trabalhar com integrais de 
  e . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas técnicas de integração, como a substituição e a integração por partes.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): 
 . A ideia aqui é reduzir a potência do cosseno para facilitar a integração. Para isso, podemos usar a identidade trigonométrica que relaciona 
  com , mas uma abordagem mais direta é usar a integração por partes.
Passo 3
Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Vamos escolher 
  e 
  de forma que a integral se simplifique. Vamos deixar:
Então, precisamos encontrar 
  e 
 .
Passo 4
Calculando 
 :
E calculando 
 :
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Agora, usamos a identidade  para simplificar a integral restante.
Passo 7
Substituindo :
Distribuindo:
Passo 8
Vamos rearranjar os termos para isolar 
 :
Somando as integrais de 
 :
Passo 9
Finalmente, isolamos a integral de 
 :
Pronto! Essa é a fórmula de redução para a integral de 
 .
Resposta
A fórmula de redução para 
  é: