Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral para resolver:
Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integrais que envolvem funções trigonométricas inversas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre substituições trigonométricas e como elas facilitam a integração de expressões com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da integral que está dentro da raiz quadrada:
. Isso se parece com a identidade trigonométrica básica
, o que sugere que uma substituição trigonométrica pode ser útil aqui.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Por que isso? Porque ao substituir
dessa forma, a expressão
vai simplificar usando a identidade trigonométrica que mencionei antes.
Passo 4
Agora, derivamos
para encontrar
:
Passo 5
Substituímos
e
na integral original:
Observe que
porque
(assumindo
).
Passo 6
Agora, a integral ficou bem simples:
Passo 7
Lembrando que fizemos a substituição
, precisamos voltar para a variável original
. Resolvendo para
:
Resposta
Portanto, a integral é: