Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de superfície 
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região. O cilindro 
Passo 3
A superfície 
- Superfície lateral do cilindro entre 
e . 
- Plano 
dentro do cilindro. 
- Plano 
dentro do cilindro. 
Vamos calcular a integral em cada uma dessas partes separadamente e depois somar os resultados.
Passo 4
1. Superfície lateral do cilindro:
Para parametrizar a superfície lateral do cilindro, usamos coordenadas cilíndricas. Sabemos que:
Onde 
O elemento de área 
Então, a integral fica:
Substituindo 
Calculando a integral interna:
Então, a integral fica:
Explicando rapidamente: toda essa parte é sobre multiplicar e integrar funções trigonométricas, que pode ser simplificada usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral resultante:
Sabemos que a integral de 
Conclusão para a superfície lateral: A contribuição dessa parte é zero.
Passo 6
2. Plano 
No plano 
Pois 
Passo 7
3. Plano 
Neste plano, podemos expressar 
Aqui, a superfície está dentro do cilindro 
O elemento de área 
Como 
A integral fica:
Usando coordenadas polares:
Substituindo:
Mais uma vez, as integrais de 
Resposta
A integral 
