Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=\left(y^{3}, 3 x y^{2}\right) ao longo do círculo unitário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
onde C é o círculo unitário orientado positivamente e \mathbf{F}(x,y)=(y^{3},\,3xy^{2}).
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e a ideia é verificar se \mathbf{F} é conservativo.

Passo 2

Para checar se \mathbf{F} é conservativo num domínio simplesmente conexo, comparamos \partial P/\partial y e \partial Q/\partial x, onde P(x,y)=y^{3} e Q(x,y)=3xy^{2}.
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(y^{3}) =3y^{2}, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(3xy^{2}) =3y^{2}.
Como são iguais em todo \mathbb{R}^{2} (que é simplesmente conexo), \mathbf{F} é conservativo.

Passo 3

Procuramos uma função potencial f(x,y) tal que \nabla f=(f_x,f_y)=\mathbf{F}=(y^{3},3xy^{2}).
Integrando P=y^{3} em relação a x:
f(x,y)=\int y^{3}\,dx =xy^{3}+g(y),
onde g é função só de y.
Então
f_{y} =\frac{\partial}{\partial y}(xy^{3}+g(y)) =3xy^{2}+g'(y)
deve ser igual a Q=3xy^{2}. Logo g'(y)=0 e g é constante.
Podemos escolher
f(x,y)=xy^{3}.

Passo 4

Como \mathbf{F} é gradiente de f, a integral ao longo de qualquer curva fechada em domínio simplesmente conexo é zero:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\oint_{C}df =f\bigl(\text{ponto final}\bigr)-f\bigl(\text{ponto inicial}\bigr) =0.

Resposta

0

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