Integral de linha do campo
ao longo do círculo unitário.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é o círculo unitário orientado positivamente e
.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e a ideia é verificar se é conservativo.
O conteúdo aqui é integral de linha de campo vetorial e a ideia é verificar se
Passo 2
Para checar se
é conservativo num domínio simplesmente conexo, comparamos
e
, onde
e
.
Como são iguais em todo
(que é simplesmente conexo),
é conservativo.
Passo 3
Procuramos uma função potencial
tal que
.
Integrando em relação a
:
Integrando
onde
é função só de
.
Então
Então
deve ser igual a
. Logo
e
é constante.
Podemos escolher
Podemos escolher
Passo 4
Como
é gradiente de
, a integral ao longo de qualquer curva fechada em domínio simplesmente conexo é zero: