Integral de linha do campo
\mathbf{F}(x, y)=(-y, x) ao longo do círculo unitário.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{F}(x,y)=(-y,x) e C é o círculo unitário (orientado positivamente, isto é, anti-horário). O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial sobre curva fechada, que podemos resolver por parametrização direta.

Passo 2

Parametrizamos o círculo unitário por
\mathbf{r}(t)=(\cos t,\;\sin t), \quad t\in[0,2\pi].
Então
\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\;\cos t)
e, ao longo da curva,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)=(-\sin t,\;\cos t).

Passo 3

A integral de linha fica
\int_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-\sin t\cdot(-\sin t)+\cos t\cdot\cos t\bigr)\,dt =\int_{0}^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)\,dt =\int_{0}^{2\pi}1\,dt =2\pi.

Resposta

2\pi

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