integral tg 4 x sec ^4 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente sobre integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de substituição e conhecer as derivadas e integrais das funções seno, cosseno, tangente e secante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada da secante é u = sec 4x . Isso nos sugere que podemos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de dudx = ddx sec 4x = sec 4x tan 4x cdot 4 = 4 sec 4x tan 4x em relação a sec 4x tan 4x , dx = du4 :
Então, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Agora, vamos reescrever a integral original usando essa substituição:
integral tan 4x sec^4 4x , dx = integral sec^3 4x cdot sec 4x tan 4x , dx
Substituindo integral u^3 cdot du4 = 14 integral u^3 , du e :

Passo 5

Vamos agora integrar 14 integral u^3 , du = 14 cdot u^44 + C = u^416 + C :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, vamos voltar para a variável original substituindo u^416 + C = (sec 4x)^416 + C :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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