Considere a sequência
an=n^2+3 n-12 n^2+5

Podemos afirmar que

Escolha uma opção:

a.
a2=912
b
lim n infty an=+infty
c.
nexists c>0
tal que
|an| <= c
para todo n, isto é
an
năo é uma sequência limitada.
d
lim n infty an=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a sequência e precisamos descobrir qual das opções (a, b, c ou d) está correta. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e entender se a sequência é limitada ou não.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a2 = 2^2 + 3 times 2 -12 times 2^2 +5 = 4 + 6 -18 +5 = 913 para verificar a opção a. Substituindo na expressão:
Então, , e não como sugere a opção a. Portanto, a opção a está incorreta.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando limn to infty an = limn to infty n^2 + 3n -12n^2 +5 = 12 tende ao infinito para verificar as opções b e d. Quando temos polinômios no numerador e denominador com o mesmo grau (neste caso, grau 2), o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
Então, o limite da sequência é . A opção b diz que o limite é , o que está errado, enquanto a opção d afirma que o limite é , o que está correto.

Passo 4

Vamos analisar a opção c. Ela afirma que não existe um número positivo tal que para todo , ou seja, que a sequência não é limitada. No entanto, já sabemos que o limite da sequência é , o que indica que a sequência está se aproximando de e, portanto, é limitada. Assim, a opção c também está incorreta.

Resposta

d
lim n infty an=12

Exercícios relacionados