A integral
integral triplaR raizx^2+y^2+z^2 d V
em que R é a região sólida interna à esfera x^2+y^2+z^2=9 com z >= 0, é igual a

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
integral triplaRraizx^2+y^2+z^2,dV
onde R é a semiesfera de raio 3 (ou seja, x^2+y^2+z^2<=9 e z>=0).
Conteúdo: uso de coordenadas esféricas para simplificar integrais de funções radiais.

Passo 2

Em coordenadas esféricas tomamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com 0<=rho<=3, 0<=phi<=pi2 (porque z>=0) e 0<=theta<=2pi. O jacobiano é
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Como raizx^2+y^2+z^2=rho, o integrando vira rho e a integral fica
integral0^2pi!!integral0^pi/2!!integral0^3 rho;l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta =integral0^2pi!!integral0^pi/2!!integral0^3rho^3sinphi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Calculamos cada parte separadamente:
integral0^3rho^3,drho =rho^44|0^3 =814,
integral0^pi/2sinphi,dphi =l[-cosphir]0^pi/2 =1,
integral0^2pidtheta=2pi
Multiplicando tudo, obtemos
2pi times 1 times 814 =81pi2

Resposta

81pi2

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