integral0^1 integral1^2 x^xy dydx (R: ln 2)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla I=integral0^1integral1^2x^xy,dy,dx. O conteúdo é integração de funções separáveis e vamos usar a propriedade de separar variáveis em integrais duplas.

Passo 2

Repare que a função integranda pode ser escrita como produto de uma parte que depende só de x, isto é g(x)=x^x, e de outra que depende só de y, isto é h(y)=1/y. Pela regra de Fubini para funções não-negativas (ou separáveis), temos
I=integral0^1x^x,dx;times;integral1^21y,dy

Passo 3

Calculemos a integral em y:
integral1^21y,dy=[ln y]1^2=ln2

Passo 4

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I=l(integral0^1x^x,dxr)timesln2

Passo 5

A integral integral0^1x^x,dx não possui primitiva elementar conhecida, então deixamos o resultado em forma de integral.

Passo 6

Portanto, o valor da integral dupla é ln2integral0^1x^x,dx.

Resposta

ln2;integral0^1x^x,dx

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