integral0^3 integral0^2 integral0^1 4 x y z d z d x d y;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve uma integral tripla. O enunciado pede para calcular a integral de uma função sobre os intervalos de 0 a 1, de 0 a 2 e de 0 a 3. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integrais múltiplas, especificamente a integral tripla, que nos ajuda a calcular volumes ou acumulados em três dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral tripla como essa é calculada em etapas, integrando uma variável de cada vez. Vamos começar integrando em relação a , mantendo e como constantes.

Passo 3

A função a ser integrada é integral0^1 4xyz , dz . Vamos integrar em relação a de 0 a 1:

Passo 4

Como 4xy integral0^1 z , dz são constantes em relação a , podemos tirar esses termos para fora da integral:

Passo 5

Agora, calculamos a integral de integral0^1 z , dz = [z^22]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 em relação a de 0 a 1:

Passo 6

Multiplicando de volta por 4xy times 12 = 2xy :

Passo 7

Agora, nossa integral simplificada fica:
integral0^2 integral0^3 2xy , dx , dy
Vamos integrar primeiro em relação a .

Passo 8

Integramos integral0^2 2xy , dx = 2y integral0^2 x , dx em relação a de 0 a 2:

Passo 9

Calculando a integral de integral0^2 x , dx = [x^22]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 = 2 de 0 a 2:

Passo 10

Multiplicando de volta por 2y times 2 = 4y :

Passo 11

Agora, nossa integral fica:
integral0^3 4y , dy
Vamos integrar isso em relação a .

Passo 12

Calculando a integral de integral0^3 4y , dy = 4 integral0^3 y , dy = 4 [y^22]0^3 = 4 (92 - 0) = 4 times 92 = 18 de 0 a 3:

Resposta

O valor da integral tripla é 18.

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