Mostre que toda reta normal à esfera x^2 + y^2 + z^2 = r^2 passa pelo centro da esfera.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que toda reta normal à esfera passa pelo centro da esfera. Vamos usar conhecimentos de geometria espacial, especificamente sobre esferas e vetores normais, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação dada representa uma esfera com centro na origem e raio .

Passo 3

Para encontrar a reta normal em um ponto qualquer na esfera, precisamos determinar o vetor normal à superfície nesse ponto. A maneira mais fácil de encontrar esse vetor é calcular o gradiente da função .

Passo 4

Calculando o gradiente de , temos:
Esse vetor é normal à esfera no ponto .

Passo 5

A equação paramétrica da reta normal passando pelo ponto e com direção dada pelo vetor normal é:
onde é o parâmetro.

Passo 6

Podemos simplificar as equações dividindo o lado direito por , e respectivamente, obtemos:
Isso mostra que todos os pontos da reta são múltiplos do ponto , ou seja, a reta passa pela origem , que é o centro da esfera.

Resposta

Assim, demonstramos que toda reta normal à esfera passa pelo seu centro .

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