integral0^4 xraiz1+2 x d x,

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida:
integral0^4 xraiz1 + 2x , dx
Esse problema está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição para resolver integrais. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão u = 1 + 2x , seria legal a gente simplificar isso. Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar dudx = 2 Rightarrow du = 2,dx Rightarrow dx = du2 em relação a u = 1 + 2x Rightarrow x = u - 12 para encontrarmos :
Também precisamos expressar em termos de . Da substituição que fizemos:

Passo 4

Vamos substituir integral0^4 xraiz1 + 2x , dx = integralu(0)^u(4) u - 12raizu cdot du2 e integral1^9 u - 14raizu , du na integral original:
Calculando os novos limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
u - 14raizu = u4raizu - 14raizu = raizu4 - 14u^-1/2
Então, a integral se torna:
integral1^9 ( raizu4 - 14u^-1/2 ) du

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso:
14 integral1^9 u^1/2 , du - 14 integral1^9 u^-1/2 , du = 14 ( 23u^3/2 ) g|1^9 - 14 ( 2u^1/2 ) g|1^9

Passo 7

Vamos calcular cada parte:
  1. Para 23(9)^3/2 - 23(1)^3/2 = 23(27) - 23(1) = 18 - 23 = 523 de 1 a 9:
2(9)^1/2 - 2(1)^1/2 = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4
  1. Para 14 ( 523 - 4 ) = 14 ( 523 - 123 ) = 14 ( 403 ) = 103 de 1 a 9:
Agora, substituindo de volta:

Resposta

O valor da integral é .

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