Vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para calcular a integral definida:
Esse problema está relacionado ao Cálculo Integral, mais especificamente usando a técnica de substituição para resolver integrais. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição adequada. Olhando para a expressão , seria legal a gente simplificar isso. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a para encontrarmos :
Também precisamos expressar em termos de . Da substituição que fizemos:
Passo 4
Vamos substituir e na integral original:
Calculando os novos limites de integração:
Quando ,
Quando ,
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo. Lembrando que:
Aplicando isso:
Passo 7
Vamos calcular cada parte:
Para 23(9)^3/2 - 23(1)^3/2 = 23(27) - 23(1) = 18 - 23 = 523 de 1 a 9:
2(9)^1/2 - 2(1)^1/2 = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4
Para 14 ( 523 - 4 ) = 14 ( 523 - 123 ) = 14 ( 403 ) = 103 de 1 a 9: